[論文レビュー] Probabilistic Fréchet Means and Statistics on Vineyards.

Elizabeth Munch, Paul Bendich+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2013

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ホルダー連続性を保証するために、摂動された図に基づく原子測度の重み付き和として定義される、パーサーバンス図におけるフレシェ平均の確率的修正を提案する。この手法により、連続的に変化する図の集合における平均計算の不連続性が解消され、バケツヤードにおける安定な統計的解析が可能になる。

ABSTRACT

In order to use persistence diagrams as a true statistical tool, it would be very useful to have a good notion of mean and variance for a set of diagrams. In [20], Mileyko and his collaborators made the first study of the properties of the Frechet mean in (Dp,Wp), the space of persistence diagrams equipped with the p-th Wasserstein metric. In particular, they showed that the Frechet mean of a finite set of diagrams always exists, but is not necessarily unique. As an unfortunate consequence, one sees that the means of a continuously-varying set of diagrams do not themselves vary continuously, which presents obvious problems when trying to extend the Frechet mean definition to the realm of vineyards. We fix this problem by altering the original definition of Frechet mean so that it now becomes a probability measure on the set of persistence diagrams; in a nutshell, the mean of a set of diagrams will be a weighted sum of atomic measures, where each atom is itself the (Frechet mean) persistence diagram of a perturbation of the input diagrams. We show that this new definition defines a (Holder) continuous map, for each k, from (Dp) k → P (Dp), and we present several examples to show how it may become a useful statistic on vineyards.

研究の動機と目的

• バケツヤードに応用する際、標準的なフレシェ平均がパーサーバンス図に対して示す不連続性の問題を解決すること。
• p次のワサーラインメトリクス下で、パーサーバンス図の集合に対して安定で連続な統計的平均を構築すること。
• 入力図が連続的に変化する動的設定（例：バケツヤード）において、平均に基づく統計解析を可能にすること。
• 平均写像がホルダー連続であることを保証し、頑健な統計的推論を可能にすること。

提案手法

• パーサーバンス図の空間上の確率測度として、確率的フレシェ平均を定義する。
• 入力図の摂動版のフレシェ平均に対応する各原子測度の重み付き和として平均を構築する。
• 入力図の摂動を用いて複数の候補平均を生成し、多様性と安定性を確保する。
• 結果として得られる平均写像が、(Dp)^k から P(Dp)（Dp 上の確率測度の空間）へのホルダー連続写像であることを証明する。
• 入力図が時間とともに連続的に変化するバケツヤードにこの手法を適用する。
• 理論的解析と具体例を通じて、入力図の微小な変化に対して平均がどのように連続的かつ安定に変化するかを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力図が時間とともに滑らかに変化するバケツヤードの文脈において、パーサーバンス図に対して連続な平均を定義できるか？
• RQ2 標準的なフレシェ平均の非一意性および不連続性は、どのようにして解消され、信頼性の高い統計的解析を可能にするか？
• RQ3 摂動された図の上での確率的平均が、特に連続性と安定性の観点で示す性質は何か？
• RQ4 提案手法は、平均化の過程で元の図の位相的情報をどの程度保持するか？
• RQ5 確率的平均は、動的トポロジカルデータ解析の文脈で、有効な統計的要約として機能できるか？

主な発見

• 提案された確率的フレシェ平均は、(Dp)^k から P(Dp) へのホルダー連続写像であり、標準的なフレシェ平均の不連続性問題を解消する。
• 平均は、入力図セットの摂動版のフレシェ平均を中心とする原子測度の重み付き和として定義される。
• 入力図の微小な変化が、結果として得られる平均測度に小さな、制御された変化をもたらすことを保証する。
• 時間変化する図の系列において、平均計算の連続性を保証するため、バケツヤードにおける安定な統計的解析が可能になる。
• 理論的および具体例に基づく結果により、確率的平均が古典的フレシェ平均の頑健で連続的な代替手段であることが確認される。