[論文レビュー] Probabilistic Inequalities and Upper Probabilities in Quantum Mechanical Entanglement

J. Acácio de Barros, Patrick Suppes|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2010

Quantum Mechanics and Applications参考文献 14被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、標準的な確率公理を緩和することで、特にGHZ状態における量子もつれ状況の整合性の欠如を解消する非単調な上位確率の使用を提案している。非単調性を許容することで、強い相関下でのGHZ状態に対して一貫した結合上位確率分布を定義でき、従来の確率枠組みに内在する論理的矛盾を回避できることを示している。

ABSTRACT

In this paper we analyze the existence of joint probabilities for the Bell-type and GHZ entangled states. We then propose the usage of nonmonotonic upper probabilities as a tool to derive consistent joint upper probabilities for the contextual hidden variables. Finally, we show that for the extreme example of no error, the GHZ state allows for the definition of a joint upper probability that is consistent with the strong correlations.

研究の動機と目的

• 量子もつれにおける古典的結合確率分布が存在しないという基礎的問題に取り組むこと、特にベル型およびGHZ状態において。
• 標準的な確率公理を弱めることが、文脈依存的隠れ変数理論を一貫性を持たせられることを調査すること。
• 加法性および単調性を緩和する上位確率が、GHZ型相関に対して一貫した結合分布をもたらすことを示すこと。
• 文脈依存的隠れ変数が論理的矛盾を引き起こすという主張に反論し、上位確率枠組み下ではそのような矛盾が消えることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、サッペスとザノッティ（1991）が定義した上位確率理論を用い、標準的な加法性に代えて部分加法性を採用することで、非単調性を許容する。
• GHZ状態における測定設定のすべての可能な結果に対して上位確率を定義し、p*(abc) = p*(¬a¬b¬c) = 1 および他のすべての組み合わせに対して 0 を割り当てている。
• 部分加法性を用いて一貫性を検証する：p*(A) ≤ 部分集合のp*の和の合計となり、上位確率公理に準拠していることを保証する。
• 期待値は上位確率を用いて計算され、E*(ABC) = 1·p*(abc ∪ ¬a¬bc ∪ ¬ab¬c ∪ a¬b¬c) + (−1)·p*(¬abc ∪ a¬bc ∪ ab¬c ∪ ¬a¬b¬c) となる。
• 構成法は、すべての周辺的および結合的期待値（例：E*(A) = E*(B) = E*(C) = 1、E*(ABC) = −1）が上位確率モデル下で満たされることを明示的に検証している。
• 上位確率が標準確率に置き換わる状況において、完全な相関（E(ABC) = −1）を示すGHZ状態にこのアプローチを適用し、矛盾が生じないことを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的結合確率が存在しないにもかかわらず、GHZ状態に対して一貫した結合上位確率分布を定義できるか？
• RQ2 上位確率が標準確率に置き換わった場合、GHZ定理で導かれる論理的矛盾は継続するか？
• RQ3 標準確率公理を上位確率公理に置き換えることで、文脈依存的隠れ変数理論を論理的に一貫性を持たせられるか？
• RQ4 非単調性は、量子の文脈性および非局所性のパラドックスを解消する上で果たす役割は何か？

主な発見

• E(ABC) = −1 のGHZ状態に対して、すべての周辺的期待値を満たす一貫した結合上位確率分布が存在する。
• 上位確率の割り当て p*(abc) = p*(¬a¬b¬c) = 1 および他のすべての組み合わせに対して 0 は、部分加法性および上位確率の公理を満たす。
• 上位確率モデル下でも期待値 E*(ABC) = −1 が保持され、p*(abc ∪ ¬a¬bc ∪ ¬ab¬c ∪ a¬b¬c) = 0 および p*(¬abc ∪ a¬bc ∪ ab¬c ∪ ¬a¬b¬c) = 1 となる。
• 部分加法性の検証により一貫性が確認され、例えば p*(a) ≤ p*(abc) + p*(a¬bc) + p*(ab¬c) + p*(a¬b¬c) は 1 ≤ 1 + 0 + 0 + 0 を満たし、成立する。
• 構成法により、GHZ定理における論理的矛盾は、上位確率枠組み下では生じないことが示された。文脈依存的隠れ変数が仮定されても同様である。
• 結果として、上位確率が用いられる場合、文脈依存的隠れ変数理論が論理的不整合を引き起こさないことが示され、従来の見解（このような理論は本質的に矛盾を含む）に反する。