[論文レビュー] Probabilistic Infinite Secret Sharing

László Csirmaz|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2013

Cryptography and Data Security参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、任意の確率空間と無限に多くの参加者を用いた確率的無限秘密分散方式のフレームワークを導入し、可測なスキームによって実現可能なアクセス構造を同定する。すべてのアクセス構造は非可測な完全なスキームを有するが、可測な完全／ほぼ完全なスキームが存在するのは、アクセス構造がシエルピński位相において開集合である場合に限る——同値に、スパンプログラムによって実現可能な場合である。可測なラムプ／ほぼラムプスキームが存在するのは、構造がGδ集合である場合に限る。これはヒルバート空間プログラムによる実現と同値である。

ABSTRACT

The study of probabilistic secret sharing schemes using arbitrary probability spaces and possibly infinite number of participants lets us investigate abstract properties of such schemes. It highlights important properties, explains why certain definitions work better than others, connects this topic to other branches of mathematics, and might yield new design paradigms. A probabilistic secret sharing scheme is a joint probability distribution of the shares and the secret together with a collection of secret recovery functions for qualified subsets. The scheme is measurable if the recovery functions are measurable. Depending on how much information an unqualified subset might have, we define four scheme types: perfect, almost perfect, ramp, and almost ramp. Our main results characterize the access structures which can be realized by schemes of these types. We show that every access structure can be realized by a non-measurable perfect probabilistic scheme. The construction is based on a paradoxical pair of independent random variables which determine each other. For measurable schemes we have the following complete characterization. An access structure can be realized by a (measurable) perfect, or almost perfect scheme if and only if the access structure, as a subset of the Sierpiński space {0, 1} P, is open, if and only if it can be realized by a span program. The access structure can be realized by a (measurable) ramp or almost ramp scheme if and only if the access structure is a Gδ set (intersection of countably many open sets) in the Sierpiński topology, if and only if it can be realized by a Hilbert-space program.

研究の動機と目的

• 任意の確率空間と無限に多くの参加者を有する確率的秘密分散スキームの抽象的性質を調査すること。
• 無限の文脈において、特定の定義（例：完全、ほぼ完全）が他の定義よりも適切である理由を明確にすること。
• 位相幾何学、測度論、関数解析学といったより広範な数学的構造と秘密分散の間の関係を確立すること。
• 異なるタイプの可測な確率的秘密分散スキームによって実現可能なアクセス構造を完全に特徴づけること。

提案手法

• 秘密分散を、共有と秘密の連合確率分布としてモデル化し、資格を持つ部分集合の復元関数を定義する。
• 非資格部分集合への情報漏洩の度合いに基づき、4つのスキームタイプ（完全、ほぼ完全、ラムプ、ほぼラムプ）を定義する。
• アクセス構造を位相化するため、Sierpiński空間{0,1}^Pを用い、開集合とGδ集合を用いてその性質を分析する。
• 測度論的概念を用いて可測なスキームを定義し、復元関数が可測であることを保証する。
• 非可測な完全なスキームを実現するために、互いに決定し合うが独立であるというパラドックス的ペアの確率変数を構成する。
• アクセス構造のタイプとプログラム理論的モデルとの間の同等性を確立：完全なスキームに対してはスパンプログラム、ラムプスキームに対してはヒルバート空間プログラム。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限の文脈において、非可測な完全な確率的秘密分散スキームによって実現可能なアクセス構造はどれか？
• RQ2 アクセス構造のどの位相的条件が、可測な完全またはほぼ完全なスキームの実現性を保証するか？
• RQ3 ラムプおよびほぼラムプスキームは、Sierpiński位相においてボレル階層、特にGδ集合とどのように関係するか？
• RQ4 可測な秘密分散スキームは、スパンプログラムやヒルバート空間プログラムのような代数的または関数解析的モデルによって特徴づけられるか？
• RQ5 確率変数のパラドキシカルな独立性は、非可測な秘密分散スキームを構築する際に果たす役割は何か？

主な発見

• すべてのアクセス構造は、互いに決定し合うが独立であるというパラドックス的ペアの確率変数を用いて、非可測な完全な確率的秘密分散スキームによって実現可能である。
• 可測な完全またはほぼ完全な秘密分散スキームが存在するのは、アクセス構造が{0,1}^PにおけるSierpiński位相で開集合である場合に限る。
• アクセス構造がスパンプログラムによって実現可能である場合に限り、可測な完全またはほぼ完全なスキームが存在する。
• 可測なラムプまたはほぼラムプの秘密分散スキームが存在するのは、アクセス構造がSierpiński位相においてGδ集合（開集合の可算交差）である場合に限る。
• このようなスキームはヒルバート空間プログラムによる実現と同等であり、位相的構造と関数解析的表現との間の深い関係を確立する。
• 本稿は、無限かつ確率的文脈における4つのスキームタイプすべてについて、アクセス構造の完全な位相的およびプログラム理論的分類を確立した。