[論文レビュー] Probabilistic Properties of Delay Differential Equations

Stephen R. Taylor|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2019

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 98被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、無限次元関数空間へのエルゴディック理論およびペロン＝フロベニウス作用素の拡張を通じて、遅れ微分方程式（DDE）の確率的枠組みを構築する。密度の時間発展をシミュレートする数値的手法を導入し、マッキー＝グラス方程式を含むDDEにおける一時的カオスの証拠（フラクタルな吸引域と長時間にわたるカオス的遷移）を提示する。

ABSTRACT

Systems whose time evolutions are entirely deterministic can nevertheless be studied probabilistically, i.e. in terms of the evolution of probability distributions rather than individual trajectories. This approach is central to the dynamics of ensembles (statistical mechanics) and systems with uncertainty in the initial conditions. Delay differential equations (DDEs) are a particular class of deterministic systems, distinguished by an explicit dependence of the dynamics on past states. A probabilistic approach to DDEs is lacking. The main problems we consider in developing such an approach are (1) to characterize the evolution of probability distributions for DDEs, i.e. develop an analog of the Perron-Frobenius operator; (2) to characterize invariant probability distributions for DDEs; and (3) to develop a framework for the application of ergodic theory to delay equations, with a view to a probabilistic understanding of DDEs whose time evolutions are chaotic. We develop a variety of approaches to each of these problems, employing both analytical and numerical methods. In transient chaos, a system evolves erratically during a transient period that is followed by asymptotically regular behavior. Transient chaos in delay equations has not been reported or investigated before. We find numerical evidence of transient chaos (fractal basins of attraction and long chaotic transients) in some DDEs, including the Mackey-Glass equation. Transient chaos in DDEs can be analyzed numerically using a modification of the "stagger-and-step" algorithm applied to a discretized version of the DDE.

研究の動機と目的

• 決定論的遅れ微分方程式（DDE）のための確率的枠組みを確立し、エルゴディック理論およびペロン＝フロベニウス作用素の概念を拡張する。
• 無限次元位相空間における標準的なペロン＝フロベニウス作用素の欠如に起因する、DDEにおける確率分布の時間発展を特徴づけること。
• 特にカオス的領域において、不変および漸近的確率分布を特定すること。
• DDEにおける密度の時間発展をシミュレートし、不変測度を検出するための数値的手法を開発すること。
• フラクタルな吸引域と長時間にわたるカオス的遷移を特徴とする一時的カオスの存在を、修正された数値アルゴリズムを用いて調査すること。

提案手法

• 無限次元位相空間 $ C $ における特性法を用いて、DDEにペロン＝フロベニウス作用素を適応し、密度の時間発展方程式を定式化する。
• 鞍型周期軌道付近での失敗を回避するため、修正された「ステッピング・ステップ」アルゴリズムを採用して数値的に軌道をシミュレートする。
• Ulamの手法を用いてマルコフ作用素を近似し、不変密度に対応する固定点を計算する。
• アンサンブルシミュレーションを用いて漸近的密度を経験的に推定し、吸引子およびSRB測度の存在を検出する。
• 密度の時間発展を時間連続形式で近似したペロン＝フロベニウス作用素を用いて、時間経過に伴う密度の変化をモデル化する。
• 吸引子点上で数値的基底探索手順（例：グラム＝シュミット法）を適用し、DDEにおける慣性多様体の可能性を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ペロン＝フロベニウス作用素は、遅れ微分方程式における確率密度の時間発展をどのように一般化できるか？
• RQ2 DDEに不変確率測度が存在するための条件は何か、そしてそれらはどのように数値的に近似できるか？
• RQ3 フラクタルな吸引域と長時間にわたるカオス的遷移を特徴とする一時的カオスは、DDEで観測可能でかつ定量的に評価可能か？
• RQ4 ステッピング・ステップアルゴリズムのような数値的手法は、DDEにおける鞍型周期軌道の近くでどのように動作するか？
• RQ5 カオス的ダイナミクスを示すDDEは、有限次元の慣性多様体を有するのか？その場合、その多様体はそのエルゴディック解析を単純化できるか？

主な発見

• マッキー＝グラス方程式において、吸引域のフラクタル構造と長時間にわたるカオス的遷移を示す、一時的カオスの数値的証拠が得られた。
• 修正されたステッピング・ステップアルゴリズムは、鞍型周期軌道付近での数値的失敗を効果的に回避でき、カオス的遷移の信頼性あるシミュレーションを可能にした。
• アンサンブルシミュレーションによる漸近的密度の推定により、吸引子およびSRB測度の存在が示された。
• Ulamの手法により近似されたマルコフ作用素の固定点が不変密度に収束し、物理的測度の存在を裏付ける結果が得られた。
• 吸引子軌道上での数値的基底探索は有限次元基底を同定できず、検討されたDDEには平坦な慣性多様体が存在しない可能性を示唆した。
• 解析されたDDEにおけるカオス的サドルには、1つの不安定方向しか存在しないことが示唆され、適切に修正されたPIM法の適用が可能である可能性が示された。