[論文レビュー] Probabilistic reachable and invariant sets for linear systems with correlated disturbance

Mirko Fiacchini, Teodoro Álamo|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2020

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 33被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、時系列相関を持つ確率的摂動を伴う線形離散時間システムのための、凸最適化に基づく確率的到達可能集合および不変集合を計算する手法を提案する。新たな「相関バウンド」を導入することで、摂動系列の独立性や定常性を仮定しないまま、確率的集合の外部近似を構築可能にする。

ABSTRACT

In this paper a constructive method to determine and compute probabilistic reachable and invariant sets for linear discrete-time systems, excited by a stochastic disturbance, is presented. The samples of the disturbance signal are not assumed to be uncorrelated, only a bound on the correlation matrices is supposed to be known. The concept of correlation bound is introduced and employed to determine probabilistic reachable sets and probabilistic invariant sets. Constructive methods for their computation, based on convex optimization, are given.

研究の動機と目的

• 摂動が時系列に相関を持つ場合に、確率的到達可能集合および不変集合を計算する手法が不足しているという問題に取り組む。これは確率的制御分野で一般的ではあるが、しばしば無視されがちな状況である。
• 従来の手法が摂動が非相関または独立であると仮定しているという制限を克服する。これは実用的システムではしばしば現実的ではない。
• 摂動の分布の完全な知識を必要とせず、相関行列のバウンドのみを用いて、確率的到達可能集合および不変集合の外部バウンドを構成的かつ計算可能にする手法を提供する。
• 確率的保証を伴う確率的モデル予測制御（SMPC）において、この集合を用いて確率的制約、再帰的実行可能性、安定性を確保する。
• 従来の確率的不変性に関する結果を、相関を持つ摂動の状況に一般化するため、新たな「相関バウンド」の概念を導入する。

提案手法

• 状態と摂動系列間の期待交差相関をバウンドする行列として、『相関バウンド』Γwを定義する。この定義は、システム行列Aを含む再帰的不等式を満たす。
• 相関バウンド条件を、凸最適化によって解ける線形行列不等式（LMI）として定式化し、可能な限りtightなΓwを求める。
• 相関バウンドを用いて、B(W, ρ)形式の確率的不変楕円体を構築する。ここでWはΓwとシステムダイナミクスから得られる正定値行列である。
• カイ二乗分布を用いて、サイズパラメータρを所望の違反確率pvと関連づけ、状態違反の確率がpv以下に抑えられることを保証する。
• 初期集合からの状態軌道の和集合として、不変楕円体を終端制約として用いて、確率的到達集合を構築する。
• 凸最適化を用いて、相関バウンド下で確率的不変性条件を満たす最小の不変楕円体を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 摂動系列が独立同分布（i.i.d.）ではなく、時系列に相関を持つ場合に、線形システムの確率的到達可能集合および不変集合をどのように計算できるか？
• RQ2 時系列相関を適切に数学的に特徴づけるにはどうすればよいか。これにより、確率的集合の構成的計算が可能になる。
• RQ3 相関行列の部分的知識に基づいて、確率的到達可能集合および不変集合の外部近似を計算するための凸最適化フレームワークを構築可能か？
• RQ4 独立性や定常性を仮定しない状況でも、得られた集合が所望の違反確率を満たすことをどのように保証できるか？
• RQ5 相関バウンドと、結果として得られる確率的不変楕円体のサイズの関係は何か？

主な発見

• 提案された相関バウンドの概念により、独立性や定常性を仮定しない一般な時系列相関を持つ摂動下でも、確率的到達可能集合および不変集合を特徴づけることが可能である。
• 凸最適化を用いて、相関バウンドを含むLMIの解法により、確率的不変楕円体を計算可能であり、楕円体のサイズはそのLMIの解に依存する。
• 所望の違反確率pvに対して、モンテカルロシミュレーション（1000個の初期状態）による検証で、不変集合の状態違反確率がpv以下に抑えられていることが確認された。
• 数値例では、100ステップにわたり、相関を持つ摂動下でも、所望の確率レベル（例：10%、20%、…、50%）内に違反頻度が収束していることが示された。
• モデル不確実性に対してもロバストである。相関バウンドは、摂動の分布の完全な知識ではなく、分散および相関行列のバウンドからのみ計算される。
• 減衰型および定常型の両方の摂動シナリオに適用可能である。相関バウンド条件における異なるαおよびβパラメータを用いた2つの異なる数値例でその有効性が示された。