[論文レビュー] Probabilistic solvers for partial differential equations

Ilias Bilionis|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2016

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、任意の幾何形状における混合ディリクレおよびノイマン境界条件を有する線形偏微分方程式（PDE）を解くための確率的数値手法を提案する。解をガウス過程として扱い、離散的なPDEおよび境界条件の評価に条件づける。主な貢献は、離散化からのエピステーム的不確実性をベイズ推論を用いて定量化するフレームワークであり、予測区間を含む事後分布を生成することで、離散化誤差を捉える。

ABSTRACT

This work is concerned with the quantification of the epistemic uncertainties induced the discretization of partial differential equations. Following the paradigm of probabilistic numerics, we quantify this uncertainty probabilistically. Namely, we develop a probabilistic solver suitable for linear partial differential equations (PDE) with mixed (Dirichlet and Neumann) boundary conditions defined on arbitrary geometries. The idea is to assign a probability measure on the space of solutions of the PDE and then condition this measure by enforcing that the PDE and the boundary conditions are satisfied at a finite set of spatial locations. The resulting posterior probability measure quantifies our state of knowledge about the solution of the problem given this finite discretization.

研究の動機と目的

• 線形PDEの空間的離散化に起因するエピステーム的不確実性を、原理的かつベイズ的フレームワークで定量化する確率的数値手法の開発。
• 任意の領域における混合境界条件を有する一般線形PDEに確率的数値法を拡張すること。
• 解を確率的場として扱い、観測されたPDEおよび境界条件制約に条件づけるベイズフレームワークの提供。
• 誤差推定、適応的リファインメント、またはサブタスクの失敗に対するロバスト性を要する応用分野における不確実性を考慮したPDEソルバーの実現。

提案手法

• 滑らかさおよび長さスケールに関する事前信念を表現する、ユーザー指定の共分散関数を有するゼロ平均ガウス過程事前分布を解空間に割り当てる。
• ベイズの定理を用いて、空間上の有限個の点におけるPDEおよび境界条件の離散的評価に事前分布を条件づける。
• 線形微分作用素およびガウス事前分布の仮定の下で、解析的に扱える解の事後分布を導出する。
• 密度行列の逆行列計算を用いて、長さスケールやノイズ分散などのハイパーパrameterの尤度を最適化することで、事後平均および事後分散を計算する。
• 事後分散を予測的離散化誤差の指標として用い、95%信用区間が真の解を捉える。
• 観測されたPDEおよび境界条件制約の周辺尤度を最大化することで、ハイパーパrameter（例：長さスケール ℓ）を最適化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PDEの離散化に起因するエピステーム的不確実性は、原理的ベイズフレームワークでどのように定量化可能か？
• RQ2 基底関数に依存せず、任意の幾何形状における混合境界条件を有する線形PDEに対して、確率的ソルバーを構築可能か？
• RQ3 実用的PDE問題における、解の事後分散と真の離散化誤差との関係は何か？
• RQ4 事前共分散構造およびハイパーパrameter選択の、ソルバーの精度および不確実性キャリブレーションへの影響は何か？
• RQ5 本手法は、複雑な領域における適応的リファインメントおよび誤差推定をサポート可能か？

主な発見

• すべてのテストケースにおいて、真の解が95%信用区間内に含まれる事後分布が得られ、信頼性の高い不確実性定量化を示した。
• 1次元ポアソン問題において、事後平均は有限差分解とよく一致し、予測された不確実性区間が離散化誤差を捉えていた。
• 正確な解が既知の2次元ディスク問題では、事後分散が実際の絶対誤差を高い忠実度で予測しており、等高線比較で明確に示された。
• 単位ディスク（内部点16個、境界点5個）において、最適な長さスケール ℓ は3.5であり、観測制約の尤度を最大化した。
• 任意形状領域では、内部点数を34から61に増加させたことで予測離散化誤差が減少し、ℓ は0.18から0.12に減少した。これは解像度の向上を示唆した。
• 真の解が不明な問題においても、事後分散が真の解が存在しない状況でも信頼性のある信頼度の指標を提供しており、ロバスト性を示した。