[論文レビュー] Probabilistic Weighted Automata

Krishnendu Chatterjee, Laurent Doyen+1 more|ArXiv.org|Sep 9, 2009

Formal Methods in Verification参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、無限語に実数値を割り当てる言語を定義するための、確率的遷移と定量的意味論を組み合わせた確率的重み付きオートマトンを導入する。本稿は、ほとんど確実および正の意味論における主要な意思決定問題の決定可能性および閉包性を確立し、確率的選択がLimSup、LimInf、および極限平均において新たな表現力の可能性を提供することを示している。一方、割引和に関しては非決定的選択と同等である。主な貢献は、この新しい枠組みにおける表現力、閉包性、決定可能性の包括的分析である。

ABSTRACT

Nondeterministic weighted automata are finite automata with numerical weights on transitions. They define quantitative languages L that assign to each word w a real number L(w). The value of an infinite word w is computed as the maximal value of all runs over w, and the value of a run as the maximum, limsup, liminf, limit average, or discounted sum of the transition weights. We introduce probabilistic weighted automata, in which the transitions are chosen in a randomized (rather than nondeterministic) fashion. Under almost-sure semantics (resp. positive semantics), the value of a word w is the largest real v such that the runs over w have value at least v with probability 1 (resp. positive probability). We study the classical questions of automata theory for probabilistic weighted automata: emptiness and universality, expressiveness, and closure under various operations on languages. For quantitative languages, emptiness and universality are defined as whether the value of some (resp. every) word exceeds a given threshold. We prove some of these questions to be decidable, and others undecidable. Regarding expressive power, we show that probabilities allow us to define a wide variety of new classes of quantitative languages, except for discounted-sum automata, where probabilistic choice is no more expressive than nondeterminism. Finally, we give an almost complete picture of the closure of various classes of probabilistic weighted automata for the following pointwise operations on quantitative languages: max, min, sum, and numerical complement.

研究の動機と目的

• 無限語上の定量的言語のモデルとして、確率的重み付きオートマトンを導入し、形式化すること。
• 非決定的および決定的オートマトンと比較して、確率的選択の表現力を調査すること。
• max、min、sum、および数値的補集合といった点ごとの演算における閉包性を分析すること。
• さまざまな価値意味論における基本的問題（空集合問題や普遍性問題）の決定可能性を特定すること。
• 特に割引和および極限平均の目的関数の文脈において、確率的オートマトンと既存のモデルを比較すること。

提案手法

• 遷移確率とほとんど確実および正の意味論に基づく定量的意味論を有する確率的重み付きオートマトンを定義する。
• 無限語の値を、確率1で達成される値の上界（ほとんど確実）または正の確率で達成される値の上界（正の意味論）として形式化する。
• マコフ連鎖の到達可能性および再帰的性質を用いて確率的挙動を分析し、表現力に関する結果を導出する。
• 決定問題を、Sup、LimSup、LimInf目的関数を有する決定的オートマトンにおける空集合問題など、既知の決定可能な問題に還元する。
• 特にPosDiscおよびAsDiscに関して、和演算における閉包性を示すためにオートマトンの同期積を構築する。
• 確率的ゲームおよびオートマトン理論の結果を活用して、空集合問題および普遍性問題の決定可能性または不決定可能性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的重み付きオートマトンは、LimSup、LimInf、および極限平均の意味論において、非決定的オートマトンでは表現できない新たなクラスの定量的言語を表現できるか？
• RQ2 さまざまな価値関数に関して、ほとんど確実および正の意味論における確率的重み付きオートマトンの空集合問題は決定可能か？
• RQ3 確率的オートマトンが定義する言語クラスは、max、min、sum、および補集合といった点ごとの演算に関して閉じているか？
• RQ4 割引和オートマトンに関して、確率的選択は非決定的または普遍的分岐と比較して表現力を高めるか？
• RQ5 確率的オートマトンと、確率的 Büchiおよびco-Büchiオートマトンなどの既存モデルとの関係は何か？

主な発見

• PosSupおよびAsSupの空集合問題と普遍性問題は決定可能であり、決定的Sup-オートマトンにおける空集合問題に還元可能である。
• PosLimSupの空集合問題およびAsLimSupの普遍性問題は不決定的であり、決定可能性の鋭い境界を確立している。
• AsLimInfの空集合問題およびPosLimSupの普遍性問題は決定可能であり、安全性および到達可能性目的関数への分解に依存する証明が行われている。
• PosDiscの空集合問題およびAsDiscの普遍性問題は決定可能であり、非決定的割引オートマトンにおける既知の決定可能な問題への還元が行われている。
• 正の意味論における確率的オートマトンは、割引和に関して非決定的オートマトンと同一の表現力を有するが、LimSup、LimInf、および極限平均に関しては異なる。
• PosLimAvgは和演算における閉包性に関して未解決のままであるが、PosDiscおよびAsDiscは同期積構築により和演算に関して閉じている。