[論文レビュー] Probabilities on cladograms: introduction to the alpha model

Daniel Ford|ArXiv.org|Nov 9, 2005

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、パラメータ α が 0 から 1 に変化するにつれて、Yule、Uniform、Comb モデルの間を連続的に補間する、根付き二分類群（系統発生木）上の確率分布の1パラメータ族、α モデルを導入する。モデルは再帰的な挿入プロセスによって定義され、新しいリーフは内部エッジに確率 α/(n−α) で、葉エッジに確率 (1−α)/(n−α) で接続される。これにより、木の確率について有限標本での正確な計算が可能となり、Sackin の指標が O(n^{1+α}) としてスケーリングされ、チェリーの数が漸近的に正規分布に従うなどの漸近的結果が得られる。

ABSTRACT

The alpha model, a parametrized family of probabilities on cladograms (rooted binary leaf labeled trees), is introduced. This model is Markovian self-similar, deletion-stable (sampling consistent), and passes through the Yule, Uniform and Comb models. An explicit formula is given to calculate the probability of any cladogram or tree shape under the alpha model. Sackin's and Colless' index are shown to be $O(n^{1+α})$ with asymptotic covariance equal to 1. Thus the expected depth of a random leaf with $n$ leaves is $O(n^α)$. The number of cherries on a random alpha tree is shown to be asymptotically normal with known mean and variance. Finally the shape of published phylogenies is examined, using trees from Treebase.

研究の動機と目的

• Yule、Uniform、Comb モデルの間を連続的に補間する、系統発生木上の新しい解析的扱いやすい確率モデル族の構築。
• モデルが重要な確率的性質を満たすことを保証する：削除安定性（標本の一貫性）とマルコフ的自己同型性。
• モデル下での任意の木の形状の確率を明示的かつ計算可能な式で与えること。
• Sackin の指標やチェリーの数といった主要な木の形状統計量が、α モデル下でどのように漸近的に振る舞うかを分析すること。
• Treebase からの木を用いて、実データへのモデルの適合度を評価すること。

提案手法

• α モデルは再帰的な確率的プロセスにより定義される：各ステップで、新しいリーフがランダムな内部エッジに確率 α/(n−α) で、またはランダムな葉エッジに確率 (1−α)/(n−α) で挿入される。
• 特定の木の形状の確率は、スプリットごとの積を用いて計算され、スプリットの確率はモデルの挿入メカニズムから導出される。
• モデルが削除安定かつマルコフ的自己同型性を満たすことは、マルコフ的モデルにおけるそのような性質を満たすための必要十分条件を証明することで示される。
• 再帰的木構築と母関数を用いた理論的結果が導出され、木の形状の数 A(n) に関する再帰的関係が得られる。
• マーティングールド法と拡張された Pólya のウールモデルを用いて、木の形状統計量の漸近的分布が確立される。
• Treebase データを用いた実験的モデル適合は、α の最尤推定と p 値および Q-Q プロットを用いた適合度検定により実施される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 系統発生木上の1パラメータ族の確率モデルを、Yule、Uniform、Comb モデルの間を連続的に補間するようにどのように構築できるか？
• RQ2 このモデル下での木の形状の正確な有限標本確率は何か？そして、効率的に計算可能か？
• RQ3 Sackin の指標やチェリーの数といった主要な木の形状統計量が、α モデル下でどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ4 α モデルは、Treebase データベースからの実際の系統発生木に対して良い適合を示すか？
• RQ5 α モデルは Aldous の β モデルとどのように比較できるか？また、どのような点で相違するか？

主な発見

• α モデル下での特定の木の形状の確率は、そのスプリットごとの積によって与えられ、スプリット確率 qα(a,b) と qα(b,a) が、a≠b の場合  q̂α{a,b} = qα(a,b) + qα(b,a)、a=a の場合 q̂α{a,a} = qα(a,a) により合算される。
• α ∈ (0,1] のとき、α モデル下での Sackin の指標は O(n^{1+α}) に比例する。期待値は α > 0 のとき線形より速く増加する。
• ランダムな α 木におけるチェリーの数は、拡張された Pólya のウールモデルから導かれる既知の平均と分散をもって、漸近的に正規分布に従う。
• モデルは削除安定かつマルコフ的自己同型性を満たし、Aldous の β モデルと同様の重要な性質を満たすが、より単純かつ明示的な構成を持つ。
• Treebase の木に対する実験的分析では、モデルが完全な適合ではないことが示された：p 値は適合の欠如を示唆しており、特に α=0（Yule モデル）の部分に著しいピークがあり、全木の約20％を占める。
• n 個のリーフを持つ木の形状の数 A(n) は再帰的関係と母関数 G(x) = x + (1/2)(G(x)^2 + G(x^2)) を満たし、OEIS の列番号 A001190 と一致する。