[論文レビュー] Probability asymptotics: notes on notation

Svante Janson|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 4被引用数 33

ひとこと要約

この論文は、確率的big-Oおよびlittle-o表記について、確率的変数に対してきめ細やかで体系的な比較を提供し、一般的な使用における曖昧さを解消する。$O(a_n)$ a.s.、$O(a_n)$ w.h.p.、$O_{L^∞}(a_n)$ といった主要な漸近的表記を定義・区別し、それらの論理的関係を確立する。特に、$X_n = o(a_n)$ a.s. ならば $X_n = o_p(a_n)$ であるが、$O$表記に関しては同様の含意は成り立たないことを強調し、確率的漸近論における誤用のリスクを浮き彫りにする。

ABSTRACT

Some asymptotic notions for random variables are discussed. In particular, different versions of O and o for sequences of random variables are studied. The results are elementary and more or less well-known, but collected here for future use and easy reference.

研究の動機と目的

• 確率的漸近的表記（例：$O(a_n)$ および $o(a_n)$）が確率的変数に適用される際の広範な曖昧さを解消すること。
• ほとんど確実、確率収束、そしてほとんど確実に有界なバージョンを含む、$O$および$o$表記の複数の変種を形式的に定義し、比較すること。
• これらの表記の間の論理的関係、特に $O(a_n)$ a.s. と $O(a_n)$ w.h.p. の非同値性を明確にすること。
• 限定子のない $O(a_n)$ および $o(a_n)$ の使用を警告し、特に一様有界性と高確率的有界性の混同を避けること。
• 確率的組合せ論および漸近的解析における誤りを避けるために、$O_{L^∞}(a_n)$ のような明確な用語・表記を提唱すること。

提案手法

• 極限上界およびイプシロンに基づく定量子を用いて、標準的な非確率的 $O$ および $o$ 表記を定義する。
• 確率的バージョンを導入・形式化する：$X_n = O_p(a_n)$ は確率収束を、$X_n = o_p(a_n)$ は0への確率収束を用いて定義する。
• ほとんど確実なバージョンを定義する：$X_n = O(a_n)$ a.s. はほとんど確実な経路による有界性を、$X_n = o(a_n)$ a.s. はほとんど確実な収束への0への収束を用いて定義する。
• 一様有界性（確実またはほとんど確実）を表す $O_{L^∞}(a_n)$ および $o_{L^∞}(a_n)$ 表記を導入し、高確率的バージョンとは区別する。
• 反例（例：ボレル＝カンテーリーに基づく列）を用いて、$O(a_n)$ a.s. と $O(a_n)$ w.h.p. が論理的に独立であることを示す。
• ボレル＝カンテーリーの補題や収束の同値性といった標準的な確率論的道具を用いて、表記の間の関係を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的変数の列 $X_n$ に対して、$X_n = O(a_n)$ の正しい形式的定義は何か？
• RQ2 $O(a_n)$ a.s.、$O(a_n)$ w.h.p.、$O_{L^∞}(a_n)$ の違いは何か？ それらの論理的含意は？
• RQ3 $X_n = O(a_n)$ a.s. から $X_n = O(a_n)$ w.h.p. への含意が成り立たないのはなぜか？ 逆も同様に成り立たないのはなぜか？
• RQ4 $X_n = o(a_n)$ a.s. と $X_n = o_p(a_n)$ を交換可能に使用できるか？ その形式的根拠は何か？
• RQ5 限定子のない $X_n = O(a_n)$ を使用するリスクは何か？ 曖昧さを回避するにはどうすればよいか？

主な発見

• $X_n = o(a_n)$ a.s. ならば $X_n = o_p(a_n)$ であり、両者は $X_n = o(a_n)$ w.h.p. と同値である。これにより、little-oの間には一貫した階層が確立される。
• $X_n = O(a_n)$ a.s. と $X_n = O(a_n)$ w.h.p. の間には含意がない。反例により、$X_n$ がほとんど確実に無限大に発散するが高確率で有界である場合、および $X_n$ がほとんど確実に有界だが高確率で無限大に発散する場合の両方が存在する。
• 限定子のない $X_n = O(a_n)$ 表記は曖昧である。これは $O_{L^∞}(a_n)$（一様有界性）を意味する場合も、$O_p(a_n)$（高確率的有界性）を意味する場合もある。意図した意味は明確にすべきである。
• $O_{L^∞}(a_n)$ 表記は、$|X_n| \leq C a_n$ a.s. を満たすランダムな $C$ に対して定義され、$O_p(a_n)$ よりも厳密に強い。一様有界性が必要な場合には、これを使用すべきである。
• 本論文は、$X_n = O(a_n)$ a.s. が $X_n = O_p(a_n)$ を含意しないこと、逆も同様であることに注意し、これが確率的組合せ論における誤りの一般的な原因であると警告する。
• 一様有界性を意図する場合、限定子のない $O(a_n)$ や $o(a_n)$ に頼るのではなく、$O_{L^∞}(a_n)$ や $o_{L^∞}(a_n)$ を使用することで曖昧さを回避すべきであると提唱する。