[論文レビュー] Probability Bracket Notation, Probability Vectors, Markov Chains and Stochastic Processes

Xing Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2007

Quantum Mechanics and Applications参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、確率論のためのディラックに類似した形式的体系である確率ブラケット表記（PBN）を導入する。PBNは離散的および連続的確率変数、マルコフ連鎖、確率過程を統一的に記述可能な記号的枠組みを可能にする。PBNがマルコフ連鎖における系の状態ケットを確率ベクトルに一致させ、シュレーディンガー図におけるマスター方程式を量子力学に類似した形に表現できることを示し、時間連続マルコフ連鎖におけるシュレーディンガー図とハイゼンベルク図の間の移行を可能にする。

ABSTRACT

page1 Abstract Dirac notation has been widely used for vectors in Hilbert spaces of Quantum Theories. In this paper, we propose to use the Probability Bracket Notation (PBN), a new set of symbols defined similarly (but not identically) as in Dirac notation. By applying PBN to fundamental definitions and theorems for discrete and continuous random variables, we show that PBN could play a similar role in probability sample space as Dirac notation in Hilbert vector space. Applying PBN to homogeneous Markov chains (MC) with discrete time, we show that our system state P-kets are identified with the probability vectors in Markov chains (MC). Then we apply PBN to general stochastic processes (SP). The master equation of time-continuous homogeneous MC in the Schrodinger pictures is discussed. Our system state P-bra is identified with Doi's state function and Peliti's standard bra. In the end, we investigated the transition of probability density from the Schrodinger picture to the Heisenberg picture for time-continuous homogeneous MC. We

研究の動機と目的

• 量子力学におけるディラック記法に類似した記号的体系を確率論および確率過程に適応させることにより、それらの分野に適用可能な形式的体系を構築すること。
• 新たなブラケット表記、すなわち確率ブラケット表記（PBN）を用いて、離散的および連続的確率変数の表現を統一すること。
• 離散時間の均質マルコフ連鎖にPBNを適用し、Pケットをその系における標準的な確率ベクトルに一致させること。
• PBNを一般の確率過程、特に時間連続の均質マルコフ連鎖に拡張し、シュレーディンガー図におけるマスター方程式を導出すること。
• PBNを用いて、連続時間マルコフ連鎖の文脈においてシュレーディンガー図とハイゼンベルク図の間の対応関係を確立すること。

提案手法

• 確率空間および確率変数に特化したディラック記法に類似した記号的体系として、確率ブラケット表記（PBN）を提唱すること。
• 離散時間マルコフ連鎖における確率ベクトルを表現するためのPケットおよびPブラ状態を定義し、量子状態に類似した状態表現を可能にすること。
• PBNを用いて、時間連続の均質マルコフ連鎖のマスター方程式をシュレーディンガー図において定式化し、ドイの状態関数およびペリティの標準ブラに接続すること。
• PBNを用いて、シュレーディンガー図からハイゼンベルク図への確率密度の変換を導出し、動的進化の枠組みを確立すること。
• PBNを一般の確率過程に適用し、系の進化を量子力学的時間発展に類似した演算子のダイナミクスにマッピングすること。
• PBNを用いて、確率論の基本定理および定義を簡潔で記号的な形で表現し、明確性と一貫性を向上させること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディラック記法に類似した表記を、確率ベクトルおよび確率変数を、量子力学におけるそれと同様の方法で表現できるように、どのように適合させることができるか？
• RQ2 提案された確率ブラケット表記におけるPケットは、離散時間マルコフ連鎖における標準的確率ベクトルとどのように対応するか？
• RQ3 PBNを用いたシュレーディンガー図において、時間連続の均質マルコフ連鎖のマスター方程式はどのように表現され、解釈されるか？
• RQ4 PBNの下で、連続時間マルコフ連鎖の文脈において、シュレーディンガー図とハイゼンベルク図の間の正式な関係は何か？
• RQ5 PBNは、離散的および連続的確率変数、および一般の確率過程を統一的に記述可能な記号的枠組みを提供できるか？

主な発見

• PBNは、離散時間マルコフ連鎖における系の状態をPケットとして成功裏に表現でき、これは標準的確率ベクトルと数学的に同等である。
• PBNを用いて、時間連続の均質マルコフ連鎖のマスター方程式がシュレーディンガー図において導出され、量子力学的進化方程式と形式的に類似していることが示された。
• PBNにおける系の状態Pブラは、ドイの状態関数およびペリティの標準ブラに一致し、既存の確率的形式との橋渡しを確立した。
• シュレーディンガー図からハイゼンベルク図への確率密度の変換が正式に導出され、PBNが図の間で動的整合性を保つことを示した。
• PBNの記号的枠組みにより、確率論および確率過程の基本的概念が簡潔かつ体系的に表現可能となり、明確性と統一性が向上した。
• PBNは、統一されたブラケット形式を通じて、離散的および連続的確率変数、ならびに一般の確率過程の両方に対して一貫的かつ拡張可能な表記を提供した。