[論文レビュー] Probability density of lognormal fractional SABR model

Jirô Akahori, Xiaoming Song+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2017

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ボラティリティが分数ブラウン運動によって駆動される対数正規分数SABRモデルの、確率密度関数の小時間漸近展開を導出する。フーリエに基づくブリッジ表現とラプラース漸近法を用いて、自己共変性のない分数的設定への古典的SABR結果の拡張を、マリヤン・微積分と幾何学的解析を用いて実現する。

ABSTRACT

Instantaneous volatility of logarithmic return in the lognormal fractional SABR model is driven by the exponentiation of a correlated fractional Brownian motion. Due to the mixed nature of driving Brownian and fractional Brownian motions, probability density for such a model is less studied in the literature. We show in this paper a bridge representation for the joint density of the lognormal fractional SABR model in a Fourier space. Evaluating the bridge representation along a properly chosen deterministic path yields a small time asymptotic expansion to the leading order for the probability density of the fractional SABR model. A direct generalization of the representation to joint density at multiple times leads to a heuristic derivation of the large deviations principle for the joint density in small time. Approximation of implied volatility is readily obtained by applying the Laplace asymptotic formula to the call or put prices and comparing coefficients.

研究の動機と目的

• ボラティリティが分数ブラウン運動に従う対数正規分数SABRモデルにおける、解析的密度結果の不足を補うこと。
• 古典的SABR漸近フレームワークを、非マルコフ的で分数的ボラティリティ過程へと拡張すること。
• フーリエ空間におけるブリッジ表現を用いて、遷移密度の小時間漸近展開を導出すること。
• 複数時刻における同時密度に対するヒューリスティックな大偏差原理を導出すること。
• オプション価格にラプラース漸近公式を適用することで、インプライド・ボラティリティの近似を可能にすること。

提案手法

• フーリエ空間におけるブリッジ表現を用いて、対数正規分数SABRモデルの同時密度を表現する。
• 決定的経路近似を適用してブリッジ表現を評価し、主要な漸近的挙動を抽出する。
• ブラウン運動と分数ブラウン運動の混合性を扱うために、マリヤン・微積分と幾何学的解析を用いる。
• オプション価格にラプラース漸近公式を適用して、インプライド・ボラティリティの近似を導出する。
• 密度積分を単純化し、主要な項を分離するために座標変換を実施する。
• 指数的減衰推定を適用して、最小作用経路の小さな近傍以外の寄与が小時間において無視可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数ブラウン運動の非マルコフ的性質を考慮して、小時間における対数正規分数SABRモデルの確率密度関数をどのように近似できるか。
• RQ2 ボラティリティ過程が分数ブラウン運動によって駆動される場合、遷移密度の主要な漸近的挙動は何か。
• RQ3 分数SABRモデルにおいて、複数時刻における同時密度に対してヒューリスティックな大偏差原理を導出できるか。
• RQ4 満期までの時間が0に近づく際、分数SABRモデルにおけるインプライド・ボラティリティはどのように漸近的に振る舞うか。
• RQ5 熱核や前向きコルモゴロフ方程式が存在しない状況において、漸近的密度の背後にある幾何学的または確率的構造は何か。

主な発見

• フーリエ・ブリッジ表現とラプラース漸近解析を用いて、確率密度の主要な漸近展開が導出された。
• 密度への主な寄与は、最小作用経路の小さな近傍に集中しており、この領域以外では指数的減衰が見られる。
• コール・プット価格にラプラース法を適用することでインプライド・ボラティリティが近似可能であり、SABRフレームワークと整合的だが、分数的ボラティリティへと拡張された。
• 漸近的密度が $ t^{5/2} $ に比例することが示され、係数は作用関数の2階微分とボラティリティパラメータに依存する。
• コルモゴロフ方程式の使用を避けることで、古典的SABR漸近論を非マルコフ的設定へと成功裏に一般化した。
• 導出結果から、元のSABRモデルが有する主要な幾何的構造（パンカルエ平面における測地線距離）が、分数的状況では失われるため、新たな解析的手法の必要性が確認された。