[論文レビュー] Probability Distribution of Velocity Circulation in Three Dimensional Turbulence

Alexander Migdal|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2020

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、3次元乱流の統計場理論を開発し、オイラー方程式が記述する大規模ループ回りの速度循環を記述するクレブシュ瞬間子の明示的解析解を導出する。循環の確率密度関数（PDF）は無限個の指数関数的項の和として記述され、6桁のスケールにわたり直接数値シミュレーション（DNS）データと相関係数 R² > 0.9999 で一致し、ループ面積に伴う循環モーメントのスケーリングを高い精度で説明する。

ABSTRACT

We elaborate the statistical field theory of Turbulence suggested in the previous paper \cite{M20a}. We clarify and simplify the basic Energy pumping equation of that theory and study mathematical properties of singular field configuration (instanton) which determine the tails of PDF for the velocity circulation around large loop $C$ in isotropic turbulence at highest Reynolds numbers. Explicit analytic solution is found for the Clebsch instanton in an Euler equation for a planar loop circulation problem. This solution for vorticity is has a term proportional to a delta function in normal direction to the minimal surface bounded by the loop. The smoothing of $δ$ functions in the vorticity in the full Navier-Stokes equations is investigated and exponential profile of smoothed singularity is found. The PDF for circulation is now an infinite sum of decreasing exponential terms $\EXP{- n |w|}\sqrt{\frac{n}{|w|}}$, with $ w = \fracΓ{Γ_0[C]}$, and $ Γ_0[C] \sim \sqrt{A_C} $ with minimal area $A_C$. The leading term fits with adjusted $R^2 = 0.9999$ the PDF tail found in DNS over more than six orders of magnitude. The area dependence of the ratio of the circulation moments $M_8/M_6$ fits with adjusted $R^2=0.9996$ the DNS in inertial range of square loop sizes from $100 $ to $500$ Kolmogorov scales. Thus, our theory explains DNS with high degree or confidence. For a flat loop we derive two-dimensional integral equation for the dependence of the scale $Γ_0[C] $ of circulation as a function of the shape of the loop (aspect ratio for rectangular loop

研究の動機と目的

• 先行研究で提唱された乱流の統計場理論におけるエネルギー駆動方程式の明確化と単純化。
• 高レイノルズ数における等方的乱流の循環PDFの重い尾部を支配する特異場配置（瞬間子）の数学的構造の解明。
• オイラー方程式に従う平面ループ循環問題におけるクレブシュ瞬間子の明示的解析解の導出。
• ナビエ＝ストークス方程式下での渦度のデルタ関数的特異性の正則化と、それによる循環PDFへの影響の解明。
• 広い範囲のループサイズとレイノルズ数において、理論的予測の循環PDFおよびモーメントスケーリングを直接数値シミュレーション（DNS）と照合する。

提案手法

• 統計場理論におけるエネルギー駆動方程式を形式化し、解析的取り扱いを容易にするよう構造を単純化する。
• 平面ループ循環問題におけるオイラー方程式を解き、ループが囲む最小面積面に垂直な方向にデルタ関数的特異性を持つ渦度場を有するクレブシュ瞬間子の明示的解析解を導出する。
• 完全なナビエ＝ストークス方程式におけるデルタ関数特異性の滑らか化を分析し、正則化された特異性が指数関数的プロファイルを示すことを明らかにする。
• 循環PDFを、$\exp(-n|w|)\sqrt{n/|w|}$ の形の無限個の単調減少する指数関数的項の和として導出する。ここで $w = \Gamma / \Gamma_0[C]$ であり、$\Gamma_0[C] \sim \sqrt{A_C}$ で、$A_C$ は最小面積を表す。
• ループ形状に依存する $\Gamma_0[C]$ を決定する2次元積分方程式を導出し、特に長方形ループの縦横比依存性を対象とする。
• 100〜500コルモゴロフスケールの範囲で、ループサイズにわたるDNSデータと理論的予測のPDF尾部および循環モーメント比 $M_8/M_6$ を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元等方的乱流における循環PDFの尾部を支配する瞬間子解の解析的構造は何か？
• RQ2 オイラー方程式の解における渦度のデルタ関数的特異性は、ナビエ＝ストークス枠組みでどのように正則化されるか？
• RQ3 瞬間子理論が予測する循環PDFの関数的形は何か？ そしてDNSデータとどのように一致するか？
• RQ4 理論的予測は、インertial rangeにおけるループサイズに応じた循環モーメント比（例：$M_8/M_6$）のスケーリングをどの程度正確に再現するか？
• RQ5 循環のスケール $\Gamma_0[C]$ は、特に縦横比が変化する長方形ループにおいて、ループ形状にどのように依存するか？

主な発見

• 平面ループ循環問題におけるクレブシュ瞬間子の明示的解析解が導出され、ループが囲む最小面積面に垂直な方向にデルタ関数的特異性を持つ渦度場を有する。
• ナビエ＝ストークス方程式下でのデルタ関数特異性の滑らか化は、指数関数的プロファイルを示し、これが循環PDFの関数的形の根拠となる。
• 循環PDFは、$\exp(-n|w|)\sqrt{n/|w|}$ の形の無限個の単調減少する指数関数的項の和として得られ、ここで $w = \Gamma / \Gamma_0[C]$ であり、$\Gamma_0[C] \sim \sqrt{A_C}$ で、$A_C$ は最小面積を表す。
• PDFの先頭項が、6桁以上のスケールにわたりDNSデータと一致し、決定係数 $R^2 = 0.9999$ を示し、極めて良好な一致を示す。
• 循環モーメント比 $M_8/M_6$ の理論的予測は、インertial range（100〜500コルモゴロフスケール）における正方形ループについてDNSデータと $R^2 = 0.9996$ で一致し、高い予測能力を確認する。
• 平板ループに対しては、$\Gamma_0[C]$ をループ形状の関数として決定する2次元積分方程式が導出され、長方形ループにおける縦横比依存性の研究が可能になる。