[論文レビュー] Probability Distributions of Positioning Errors for Some Forms of Center-of-Gravity Algorithms

Gregorio Landi, Giovanni Landi|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2020

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、シリコンマイクロストリップ検出器における2ストリップおよび3ストリップの重心（COG）アルゴリズムに用いられる位置決め誤差の正確なおよび近似確率密度関数（PDF）を導出する。標準の分散最小化手法が重い尾を持つ（カウチ型に近い）誤差分布のため失敗することを示し、x=ξ/(ξ+η)、y=(ξ−η)/(2(ξ+η))、w=ξ/η、完全COG2および簡略化された3ストリップCOGの主要なCOG形式の解析的PDFを提供することで、最適な最尤推定によるトラックフィッティングを可能にする。

ABSTRACT

The center of gravity is a widespread algorithm for position reconstruction in particle physics. For track fitting, its standard use is always accompanied by an easy guess for the probability distribution of the positioning errors. This is an incorrect assumption that degrades the results of the fit. The explicit error forms show evident Cauchy-(Agnesi) tails that render problematic the use of variance minimizations. Here, we report the probability distributions for some combinations of random variables, impossible to find in literature, but essential for track fitting: $x=ξ/{(ξ+η)}$, $y={(ξ-η)}/[2{(ξ+η)}]$, $w=ξ/η$, $x=θ(x_3-x_1) (-x_3)/(x_3+x_2) +θ(x_1-x_3)x_1/(x_1+x_2)$ and $x=(x_1-x_3)/(x_1+x_2+x_3)$. The first three are directly connected to each other and are partial forms of the two-strip center of gravity. The fourth is the complete two-strip center of gravity. For its very complex form, it allows only approximate expressions of the probability. The last expression is a simplified form of the three-strip center of gravity. General integral forms are obtained for all of them. Detailed analytical expressions are calculated assuming $ξ$, $η$, $x_1$, $x_2$ and $x_3$ independent random variables with Gaussian probability distributions (the standard assumption for the strip noise).

研究の動機と目的

• トラックフィッティング性能を低下させる、広く誤って信じられているCOG位置決め誤差がガウス分布に従うという仮定を是正すること。
• 標準的なガウス分布に従うストリップノイズを仮定したもとで、特に2ストリップおよび3ストリップCOGの主要なCOGアルゴリズムの正確なおよび近似確率密度関数（PDF）を導出すること。
• 信号対ノイズ比と系統的誤差を考慮した正確なPDFを提供することで、最適なトラックフィッティングを可能にし、劣化した最小二乗法の代わりにすること。
• COG2の複雑な統計的挙動、特に特徴的なギャップと非ガウス的尾部を、解析的および近似PDFの形式で取り扱うこと。
• COGベースのアルゴリズムにおける統計的枠組みを完成させ、高精度のトラック再構築を実現するため、文献に欠けていた基本的なPDFを供給すること。

提案手法

• 独立したガウス分布に従う確率変数ξとηを仮定し、累積分布関数（CDF）と変換技術を用いてx = ξ/(ξ+η)のPDFを導出する。
• 完全2ストリップCOG2アルゴリズムのCDFおよびPDFを導出するために、(ξ, η, β)空間における多次元領域での変数変換と積分を適用する。
• Fubiniの定理を用いて二重積分の順序を再編し、積分を分離可能な変数変換を適用することで、より正確で解析的に取り扱いやすい近似を可能にする。
• 部分積分を用いて導出されたカウチ型の尾部項を組み込んだ、COG2のPDFに対する精密な近似を構築し、斜めのトラックにおいても精度を向上させる。
• 各ストリップに独立したガウスノイズが存在すると仮定し、類似の技術を用いて3ストリップCOGのPDFの簡略化された解析的表現を導出する。
• MATLABを用いた広範な数値シミュレーションと、Mathematicaによる記号計算を用いた検証により、シミュレーションデータと一貫性があることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストリップ信号がガウスノイズに従う場合、2ストリップおよび3ストリップの重心アルゴリズムにおける位置決め誤差の真の確率分布は何か？
• RQ2 標準的な最小二乗フィッティング手法がCOGデータに適用された場合、なぜトラック再構築で失敗するのか。この失敗の原因となる誤差分布の統計的性質は何か？
• RQ3 ギャップと重い尾部を特徴とする完全COG2アルゴリズムの複雑な非ガウス的誤差分布を、解析的に正確にモデル化するにはどうすればよいか？
• RQ4 信号対ノイズ比とストリップ位置がCOG誤差PDFの形状に与える影響は何か。この影響を最尤フィッティングに組み込むにはどうすればよいか？
• RQ5 中央ピークとカウチ型の尾部の両方を高精度に捉えることができる、COG2のPDFの閉形式近似を導出できるか？

主な発見

• COGアルゴリズムの位置決め誤差分布は顕著なカウチ（アグネージ）型の尾部を示し、ガウス誤差の仮定を無効にし、分散最小化が最適でないことを示している。
• 完全2ストリップCOG2アルゴリズムのPDFは、データに特徴的なギャップがあるため、閉形式での解析的取り扱いが不可能であり、複雑な多重積分の形式を必要としている。
• 中央ピークとカウチ型の尾部の両方を捉えた、精密な解析的近似が導出され、数値シミュレーションとほとんど誤差のない一致を示している。
• カウチ型の尾部項は、通常のトラックでは小さく（約10⁻⁵）なるが、非常に傾いたトラックでは顕著に（約10⁻¹）なるため、正確性を確保するには含める必要がある。
• 簡略化された3ストリップCOGのPDFは閉形式で導出され、標準的手法よりも分解能が向上する効率的な最尤フィッティングが可能になった。
• 導出されたPDFにより、ヒットごとの信号対ノイズ比を組み込み、系統的誤差を補正する最適なトラックフィッティングが可能となり、最小二乗法フィッティングと比較してパラメータの分散が顕著に低減された。