[論文レビュー] Probability distributions with binomial moments

Wojciech Młotkowski, K. A. Penson|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、二項係数列 $\binom{np+r}{n}$ が正定値であり、確率測度 $\nu(p,r)$ に対応するための条件を確立する。$p \geq 1$ および $-1 \leq r \leq p-1$ の場合、これらの列がコンパクトに台を持つ確率測度のモーメント列であることを証明する。主な結果は、このような二項係数列の正定値性の完全な特徴付けであり、$p > 1$ が有理数で $-1 < r \leq p-1$ の場合、密度関数がメイジャー G-関数を用いて明示的に表現可能である。また、$\nu(p,-1)$ および $\nu(p,0)$ がベルヌーイ分布の自由畳み込み累乗として同定されることも示す。

ABSTRACT

We prove that if $p\geq 1$ and $-1\leq r\leq p-1$ then the binomial sequence $\binom{np+r}{n}$, $n=0,1,...$, is positive definite and is the moment sequence of a probability measure $ν(p,r)$, whose support is contained in $\left[0,p^p(p-1)^{1-p} ight]$. If $p&gt;1$ is a rational number and $-11$ the measures $ν(p,-1)$ and $ν(p,0)$ are certain free convolution powers of the Bernoulli distribution. Finally we prove that the binomial sequence $\binom{np+r}{n}$ is positive definite if and only if either $p\geq 1$, $-1\leq r\leq p-1$ or $p\leq 0$, $p-1\leq r \leq 0$. The measures corresponding to the latter case are reflections of the former ones.

研究の動機と目的

• 二項係数列 $\binom{np+r}{n}$ が正定値であるようなパラメータ $p$ と $r$ の全範囲を特定すること。
• 対応する確率測度 $\nu(p,r)$ の特徴付け、特にその台と絶対連続性の有無。
• 有理数 $p > 1$ および $-1 < r \leq p-1$ の場合、これらの測度の密度関数 $V_{p,r}$ を特殊関数、特にメイジャー G-関数を用いて表現すること。
• $\nu(p,-1)$ および $\nu(p,0)$ とベルヌーイ分布の自由畳み込み累乗との関係を同定すること。
• 二項係数列が正定値であるようなすべての $(p,r)$ 組の完全分類を提供すること。$p \leq 0$ の場合の反射対称性も含む。

提案手法

• 生成関数 $\mathcal{D}_{p,r}(z) = \sum_{n=0}^\infty \binom{np+r}{n} z^n$ を導出し、$\mathcal{D}_{p,-1}$, $\mathcal{D}_{p,0}$, および $\mathcal{D}_{p,p-1}$ 間の関数的関係を確立する。
• メリン畳み込みおよび一般化超幾何関数論を用いて、$p = k/l > 1$ が有理数で $-1 < r \leq p-1$ の場合、密度 $V_{p,r}$ をメイジャー G-関数の線形結合として表現する。
• 単調畳み込みおよび自由確率論の道具、特にマラキの単調畳み込みを用いて、提示されたパrameter条件下で列の正定値性を証明する。
• 解析接続および漸近的解析を用いて、$r < -1$ または $r > p-1$ の場合、$x > 0$ が小さいとき $V_{p,r}(x) < 0$ となることを示し、そのような場合が正定値性から除外されることを示す。
• 関係式 $\nu(p,t) = \nu(p,0) \rhd \mu(p,t)$ ($t > 0$) を用いて、既知の事例から正定値性を拡張する。
• 特定の $r$ 値における $p=2$, $p=3$, および $p=3/2$ の場合に $V_{p,r}$ の明示的公式を初等関数形式で提供し、一般化超幾何関数を用いて一般化された表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数パラメータ $p$ と $r$ に対して、二項係数列 $\binom{np+r}{n}$ が正定値であるのはどのような場合か？
• RQ2 正定値である場合、モーメント列 $\binom{np+r}{n}$ に対応する確率測度 $\nu(p,r)$ の台と構造は何か？
• RQ3 有理数 $p > 1$ および $-1 < r \leq p-1$ の場合、測度 $\nu(p,r)$ の密度関数 $V_{p,r}$ を特殊関数、特にメイジャー G-関数を用いてどのように表現できるか？
• RQ4 $\nu(p,-1)$ および $\nu(p,0)$ とベルヌーイ分布の自由畳み込み累乗との関係は何か？
• RQ5 有理数 $p > 1$ であっても、$r < -1$ または $r > p-1$ の場合、なぜ列が正定値でなくなるのか？

主な発見

• 二項係数列 $\binom{np+r}{n}$ が正定値であるのは、$p \geq 1$ かつ $-1 \leq r \leq p-1$、または $p \leq 0$ かつ $p-1 \leq r \leq 0$ の場合に限る。後者の場合、前者の反射対称性に由来する。
• $p \geq 1$ かつ $-1 \leq r \leq p-1$ の場合、列は $[0, c(p)]$ 上に台を持つ確率測度 $\nu(p,r)$ のモーメント列であり、$c(p) = p^p / (p-1)^{p-1}$ である。
• $p > 1$ が有理数で $-1 < r \leq p-1$ の場合、測度 $\nu(p,r)$ は絶対連続であり、密度 $V_{p,r}$ はメイジャー G-関数として表現可能である。特に $p=2$ の場合など、特殊なケースでは $V_{p,r}$ は初等関数として表せる。
• 測度 $\nu(p,-1)$ および $\nu(p,0)$ は、ベルヌーイ分布の自由畳み込み累乗として同定される：$\nu(p,-1) = \text{Bernoulli}^{\boxtimes p}$ および $\nu(p,0) = \text{Bernoulli}^{\boxtimes (p-1)}$。
• $p = k/l > 1$ で $r < -1$ または $r > p-1$ の場合、密度 $V_{p,r}(x)$ は小さな $x > 0$ で負値をとるため、正定値性が成立しない。
• 図版による確認により、$r < -1$ または $r > p-1$ の場合、$V_{p,r}(x)$ が一部の区間で負値をとることが示され、そのような場合が正定値性の定義域から除外される。