[論文レビュー] Probability-free pricing of adjusted American lookbacks

A. P. Dawid, Steven de Rooij+6 more|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、確率的仮定や市場の完全性を仮定せず、原資産の価格経路のみを用いて、調整済みアメリカン・ルックバック・オプションの価格設定とヘッジを可能にする確率論フリーの手法を提示する。主な結果として、このようなオプションをヘッジするのに必要な最小初期資本は、$ X_0 \int_{X_0}^\infty G(x) x^{-2} \, dx $ で与えられ、これはゲーム理論的確率から自然に導かれるものであり、最大価格過程から導かれるリスクニュートラル測度における期待値に対応する。

ABSTRACT

Consider an American option that pays G(X^*_t) when exercised at time t, where G is a positive increasing function, X^*_t := \sup_{s\le t}X_s, and X_s is the price of the underlying security at time s. Assuming zero interest rates, we show that the seller of this option can hedge his position by trading in the underlying security if he begins with initial capital X_0\int_{X_0}^{\infty}G(x)x^{-2}dx (and this is the smallest initial capital that allows him to hedge his position). This leads to strategies for trading that are always competitive both with a given strategy's current performance and, to a somewhat lesser degree, with its best performance so far. It also leads to methods of statistical testing that avoid sacrificing too much of the maximum statistical significance that they achieve in the course of accumulating data.

研究の動機と目的

• 確率的仮定や他のデリバティブへの依存なしに、アメリカン・ルックバック・オプションの価格設定とヘッジ手法を開発すること。
• 価格経路の進化にかかわらず、オプションのペイオフ $ G(X_t^*) $ を完全にヘッジできるようにするための、売り手が必要とする最小初期資本を特定すること。
• 常にオプションのペイオフを上回る資本を保証するための許容可能なルックバック調整関数（ALAs）および単純なルックバック調整関数（ASLAs）を特徴付けること。
• このようなオプションの上位価格と、最大価格過程から導かれるリスクニュートラル測度との関係を確立すること。

提案手法

• 本手法は、価格経路に確率測度を仮定しないゲーム理論的確率を用いて、上位価格を導出する。
• ルックバック調整関数（LA）を、初期資本1を出発点とする取引戦略によって支配可能な関数 $ F(X_t^*, X_t) $ として定義する。
• 許容可能なルックバック調整関数（ALA）は、そのような関数の中で最小であり、積分条件 $ \int_1^\infty \frac{F(y)}{y^2} dy = 1 $ における等号成立によって特徴づけられる。
• $ X_t^* $ のみに依存する単純なオプションに関しては、正規化とスケーリングを用いて、上位価格が $ X_0 \int_{X_0}^\infty G(x) x^{-2} dx $ であることが示される。
• このアプローチにより、$ [X_0, \infty) $ 上で密度 $ X_0 x^{-2} $ を持つ自然なリスクニュートラル測度 $ Q_{X_0} $ が特定され、上位価格は $ G(x) $ の期待値として対応する。
• 測度と調整関数から導かれるスパイン関数 $ F^= $ は、$ F^=(X) = F(X) + X P((X,\infty]) $ として定義され、ALAs の完全な特徴づけを提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的仮定なしに、ペイオフ $ G(X_t^*) $ を支払うアメリカン・ルックバック・オプションをヘッジするのに必要な最小初期資本は何か？
• RQ2 初期資本1で始める取引戦略によって支配可能な関数 $ F $ の集合をどのように特徴づけられるか？
• RQ3 ルックバック調整関数が許容可能（支配関数の中で最小）であるための条件は何か？
• RQ4 このようなオプションの上位価格は、最大価格過程から導かれるリスクニュートラル測度とどのように関係するか？
• RQ5 この価格設定式は、$ X_t^* $ と $ X_t $ の両方に依存するオプションへと拡張可能か？また、古典的手法と比較してどうなるか？

主な発見

• ペイオフ $ G(X_t^*) $ を支払うアメリカン・ルックバック・オプションをヘッジするのに必要な最小初期資本は $ X_0 \int_{X_0}^\infty G(x) x^{-2} dx $ であり、これはあらゆる価格経路においてヘッジを保証する最小の資本である。
• 関数 $ F $ が許容可能な単純なルックバック調整関数（ASLA）であるための必要十分条件は $ \int_1^\infty \frac{F(y)}{y^2} dy = 1 $ であり、この積分条件で等号が成立することである。
• オプションの上位価格は、$ [X_0, \infty) $ 上で密度 $ X_0 x^{-2} $ を持つ測度 $ Q_{X_0} $ における $ G(x) $ の期待値に対応し、ゲーム理論的枠組みから自然に導かれる。
• 特定の例として $ F(y) = \alpha y^{1-\alpha} $ の場合、対応するALAはスパイン関数 $ F^=(X) = X^{1-\alpha} $ を用いて導出され、測度 $ P $ は $ (1,\infty) $ 上で密度 $ \alpha(1-\alpha)y^{-1-\alpha} $ を持つ。
• スパイン関数 $ F^= $ は $ F(X) + X P((X,\infty]) $ として定義され、ALAs を完全に特徴づけ、対数的ケースでは $ X \geq e^{1+\alpha} $ に対して $ F^=(X) = (1+\alpha)^\alpha X \ln^{-\alpha}X $ を満たす。
• この枠組みは、$ X_t^* $ と $ X_t $ の両方に依存するオプションへと拡張可能であり、測度 $ P_c = (1-c)P + c\delta_\infty $ の混合を用いてALAsが構築され、資本プロセスの明示的表現が得られる。