[論文レビュー] Probability laws related to the Jacobi theta and Riemann zeta function and Brownian excursions

Philippe Biane, Jim Pitman+1 more|ArXiv.org|Dec 21, 1999

Analytic Number Theory Research参考文献 42被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、リーマン・ゼータ関数、ヤコビのシータ関数、および独立同一分布に従う指数型確率変数の和から導かれる確率分布との間に深い関係を確立する。これらの分布が1次元のブラウン運動および変換過程の文脈において自然に生じることを示し、ゼータ関数の新しい積分表現を導出し、それらの確率分布をラプラス変換および最初の通過時刻を通じて特徴づける。

ABSTRACT

This paper reviews known results which connect Riemann's integral representations of his zeta function, involving Jacobi's theta function and its derivatives, to some particular probability laws governing sums of independent exponential variables. These laws are related to one-dimensional Brownian motion and to higher dimensional Bessel processes. We present some characterizations of these probability laws, and some approximations of Riemann's zeta function which are related to these laws.

研究の動機と目的

• リーマンのゼータ関数の積分表現の確率的裏付けを明らかにすること。
• ヤコビのシータ関数の関数方程式を、同分布の指数型確率変数の和の分布と結びつけること。
• ブラウン運動および変換過程に現れる確率分布を、ゼータ関数およびシータ関数との関係を通じて特徴づけること。
• 確率的手法を用いてリーマン・ゼータ関数の新しい積分表現を導出すること。
• これらの確率過程の漸近的挙動に基づいたゼータ関数の近似を提供すること。

提案手法

• ヤコビのシータ関数およびその導関数を用いて、リーマン・ゼータ関数の積分表現を導出する。
• ブラウン運動が特定のレベルに到達するまでの最初の通過時刻の分布を分析し、それと指数型変数との関連を明らかにする。
• ラプラス変換を用いて、同分布の指数型確率変数の和の確率分布を特徴づける。
• シータ関数の関数方程式を応用し、関連する確率密度関数の対称性を導出する。
• 3次元以上の変換過程とその最初の通過時刻分布を通じて、それらの法則と関連付ける。
• レイリー分布およびそのモーメントを用いて、高次元におけるブラウン運動の径方向成分をモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヤコビのシータ関数の関数方程式は、指数型確率変数の和の分布とどのように関係しているか？
• RQ2 リーマンのゼータ関数の積分表現の確率的解釈は何か？
• RQ3 ブラウン運動の最初の通過時刻は、ゼータ関数およびシータ関数とどのように関連しているか？
• RQ4 ブラウン運動の局所時刻およびエクスカージョン面積の正確な分布は何か？それらはゼータ値とどのように関係しているか？
• RQ5 これらの確率過程の漸近的挙動から、リーマン・ゼータ関数の新しい近似を導出できるか？

主な発見

• 標準ブラウン運動がレベルに到達するまでの最初の通過時刻のラプラス変換が、リーマン・ゼータ関数を用いて表現可能であることが示された。
• レート1の同分布の指数型確率変数の和の分布が、特性関数を通じてヤコビのシータ関数と関連づけられた。
• 3次元の変換過程の最初の通過時刻分布が、そのラプラス変換を通じてゼータ関数と関連づけられた。
• 本稿では、シータ関数およびその導関数を用いて、リーマン・ゼータ関数の新しい積分表現が導出された。
• ブラウン運動のエクスカージョン下の面積の分布のラプラス変換が、ゼータ関数およびシータ関数を含むことが示された。
• シータ関数の関数方程式が、関連する確率密度関数の対称性を導出するのにも用いられ、その結果、ゼータ関数の関数方程式が反映された。