[論文レビュー] Probability Measures and Effective Randomness

Jan Reimann, Theodore A. Slaman|ArXiv.org|Jul 10, 2007

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、実数 $x$ に対して、$x$ が $\mu$-ランダムであるような確率測度 $\mu$ が存在する条件を調査している。非再帰的実数はすべてそのような測度を持つことが示され、すべての可算でない多くの実数に対して、$x$ がランダムとなる連続的測度が存在する。主な結果は、$x$ の論理的複雑さと、ランダム性の存在を証明するために必要な集合論的強度との間の関係を示しており、より高い算術レベルのランダムネスは、連続的超冪の反復を必要とする。

ABSTRACT

We study the question, ``For which reals $x$ does there exist a measure $μ$ such that $x$ is random relative to $μ$?'' We show that for every nonrecursive $x$, there is a measure which makes $x$ random without concentrating on $x$. We give several conditions on $x$ equivalent to there being continuous measure which makes $x$ random. We show that for all but countably many reals $x$ these conditions apply, so there is a continuous measure which makes $x$ random. There is a meta-mathematical aspect of this investigation. As one requires higher arithmetic levels in the degree of randomness, one must make use of more iterates of the power set of the continuum to show that for all but countably many $x$'s there is a continuous $μ$ which makes $x$ random to that degree.

研究の動機と目的

• 非再帰的実数 $x$ に対して、$x$ が $\mu$-ランダムであるような確率測度 $\mu$ が存在するかを特定すること。
• 連続的（非原子的）測度 $\mu$ が存在し、$x$ が $\mu$-ランダムであるような実数 $x$ を特徴づけること。
• 実数 $x$ のランダムネスの算術的レベルと、そのような測度の存在を証明するために必要な集合論的強度（例：$\mathcal{P}(\omega)$ の反復回数）との間のメタ数学的関係を調査すること。
• 各レベルにおける非計算的ランダムでない実数の集合の可算性を示すために、ボレル決定性と $\omega$ の冪集合の反復が果たす役割を分析すること。

提案手法

• 任意の確率測度に関するマーティン・ローフランダムネスを用い、一様テストと効果的零集合を用いてランダムネスを定義する。
• クマベ・スラマンの強制法を用いて、$x \notin L_{\beta_n}$ であるとき、$L_{\beta_n}[G]$ において $x$ が $\mu$-ランダムとなるような一般化実数 $G$ を構成する。
• ボレル決定性と絶対性を用いて、$x$ が $L_{\beta_n}$ に属さないならば、$x$ はある連続的測度 $\mu$ に関してランダムであることを示す。
• 構成的宇宙 $L$ 内のマスターコードを分析し、$M_\alpha$ が $\mu$-ランダムならば、$M_\alpha$ は $\mu$-再帰的でなければならないことから、矛盾を導く。
• $\beta \leq \alpha$ における帰納法を用いて、すべてのマスターコード $M_\beta$ が $\mu$-再帰的であることを示し、帰納法のステップには補題 5.6 と補題 5.7 を用いる。
• ボレル決定性を用いて $\operatorname{NCR}_n$（$n$-ランダム実数の集合）が可算であることを示し、また $\mathsf{ZFC}^{-}_k$ はすべての $n$ に対してこの事実を証明できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの実数 $x$ に対して、$x$ が $\mu$-ランダムであるような確率測度 $\mu$ が存在するか？
• RQ2 そのような測度 $\mu$ が連続的（非原子的）である場合、すなわち $\mu$ が $x$ に集中しない場合、いつ存在するか？
• RQ3 実数 $x$ の論理的複雑さと、$x$ がランダムとなる連続的測度の存在を証明するために必要な集合論的強度（例：$\mathcal{P}(\omega)$ の反復回数）との間の関係は何か？
• RQ4 なぜボレル決定性は $\operatorname{NCR}_n$ の可算性の証明に不可欠であり、その集合論的コストは何か？
• RQ5 $\mathsf{ZFC}^{-}_k$ はすべての $n$ に対して $\operatorname{NCR}_n$ が可算であることを証明できるか？

主な発見

• すべての非再帰的実数 $x$ に対して、$x$ が $\mu$-ランダムであり、$\mu$ が $x$ に集中しないような確率測度 $\mu$ が存在する。
• すべての可算でない多くの実数 $x$ に対して、$x$ が $\mu$-ランダムであるような連続的測度 $\mu$ が存在する。
• $\operatorname{NCR}_n$（$n$-ランダム実数の集合）は可算であり、この事実はボレル決定性の完全な強度に依存しており、任意の固定された $k$ に対して $\mathsf{ZFC}^{-}_k$ では証明できない。
• $\operatorname{NCR}_n$ の可算性の証明は、クマベ・スラマン強制法による一般化実数 $G$ の存在に依存しており、$L_{\beta_n}[G]$ において $x$ が $\mu$-ランダムとなる。
• $x$ が $L_{\beta_n}$ に属さないならば、$x$ はある連続的測度 $\mu$ に関してランダムであり、これはボレル決定性に基づくコーンによる議論によって示される。
• 構成的宇宙 $L_{\beta_k}$ 内のマスターコード $M_\alpha$ に対しては、$x$ をランダムにする連続的測度の存在は失敗する。なぜなら、もしランダムであれば $M_\alpha$ は $\mu$-再帰的になってしまうが、これはランダムネスに矛盾するからである。