[論文レビュー] Problem-Driven Scenario Clustering in Stochastic Optimization

Julien Keutchayan, Janosch Ortmann+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2021

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ひとこと要約

本稿は、目的関数への影響に基づいて代表的なシナリオを選択することで実装誤差を最小化する、問題駆動型シナリオクラスタリング手法を提案する。コスト空間ではなく結果空間ではなくコスト空間にクラスタリングすることで、分布駆動的手法やモンテカルロサンプリングを上回り、シナリオ数を著しく削減した状態でほぼ最適解を達成する。例えば、1つのシナリオで施設配置問題を解くことができ、完全な問題では6時間もかかる。

ABSTRACT

In stochastic optimisation, the large number of scenarios required to faithfully represent the underlying uncertainty is often a barrier to finding efficient numerical solutions. This motivates the scenario reduction problem: by find a smaller subset of scenarios, reduce the numerical complexity while keeping the error at an acceptable level. In this paper we propose a novel and computationally efficient methodology to tackle the scenario reduction problem when the error to be minimised is the implementation error, i.e. the error incurred by implementing the solution of the reduced problem in the original problem. Specifically, we develop a problem-driven scenario clustering method that produces a partition of the scenario set. Each cluster contains a representative scenario that best reflects the conditional objective values in each cluster of the partition to be identified. We demonstrate the efficiency of our method by applying it to two challenging stochastic combinatorial optimization problems: the two-stage stochastic network design problem and the two-stage facility location problem. When compared to alternative clustering methods and Monte Carlo sampling, our method is shown to clearly outperform all other methods.

研究の動機と目的

• 過剰なシナリオ数による大規模な確率的最適化問題の計算不能性に対処すること。
• 実装誤差（低減された問題と元の問題の最適解との差）を最小化しつつ、シナリオ集合を削減すること。
• 確率分布のメトリクスに依存するのではなく、目的関数と制約条件の問題構造を活用するクラスタリング手法の開発。
• 2つの挑戦的な組合せ最適化問題（ネットワーク設計および施設配置）において、提案手法の優れた性能を示すこと。
• 問題固有の誤差メトリクスを考慮する、従来のシナリオ削減手法の計算効率の良い代替手段を提供すること。

提案手法

• 各シナリオの条件付き目的関数値に基づいてシナリオをクラスタリングし、各クラスタはそのグループ内で期待コストを最小化するシナリオによって代表化される。
• 元の結果空間（ℝ^d）ではなく、コスト値の空間（ℝ）で動作し、問題の目的関数を近接度のメトリクスとして使用する。
• アルゴリズムは2段階で構成される：(1) 各シナリオについて部分問題を解き、機会費用を計算する。 (2) シナリオをクラスタに割り当て、代表シナリオを選択するための混合整数分割問題を解く。
• 代表シナリオには確率が割り当てられ、元の問題を近似する低減問題が構築される。
• この手法は、元の確率分布の知識を必要とせず、シナリオデータと問題のコスト構造のみに依存する。
• 2段階のアルゴリズムにより適用される：まず機会費用行列を計算し、次に最適なクラスタ代表を特定するための混合整数計画問題を解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 問題の目的関数を近接度メトリクスとして用いるシナリオ削減手法が、分布駆動型クラスタリングを実装誤差の観点で上回ることができるか？
• RQ2 確率的整数計画問題において、コスト空間にクラスタリングする手法と結果空間にクラスタリングする手法の有効性はどのように比較できるか？
• RQ3 問題に適合したクラスタリングにより選択された少数の代表シナリオが、大規模な確率的最適化問題においてほぼ最適な性能を達成できるか？
• RQ4 問題駆動型と分布駆動型のシナリオ削減を比較した場合、計算コストと解の品質のトレードオフはどの程度か？
• RQ5 本手法により選択された1つの代表シナリオは、解の品質と実行時間の両面で、完全なシナリオ集合を上回ることができるか、その程度はどの程度か？

主な発見

• 2段階の確率的ネットワーク設計問題において、CSSC手法は75個のシナリオのうち10個のみを用いて、85%以上のインスタンスで10%未満の最適性ギャップを達成し、k-メディオイド法（36%）やモンテカルロ法（1%）を著しく上回った。
• 施設配置問題では、CSSCアルゴリズムが1つのシナリオを選択し、40分未満で5%未満の最適性ギャップを達成した。一方、100個のシナリオを含む完全な問題では6時間もかかっても収束せず、メモリ制限の環境では失敗した。
• CSSCアルゴリズムは10個のインスタンスすべてで最良またはほぼ最良のシナリオを選択し、60%のケースで最適シナリオを選び、100%のケースで上位3位以内のシナリオを選んだ。
• ネットワーク設計問題においてK=1のとき、CSSC手法は平均99.7%の解の品質を達成した。モンテカルロ法は97.7%、k-メディオイド法は99.3%であった。
• CSSCアルゴリズムの計算コストは単純な手法よりも高いが、得られる解の品質がそのオーバーヘッドを十分に補っており、特に大規模問題において顕著である。
• CSSC手法は多様な問題インスタンスに対して頑健であり、元の問題が完全に解けない計算不能な状況でも高い性能を維持した。