[論文レビュー] Problems 85 and 87 of Birkhoff's "Lattice theory"

Jonathan David Farley, Dominic van der Zypen|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2016

Semantic Web and Ontologies参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Birkhoffの『Lattice Theory』に由来する2つの長年の問題を解決する。すなわち、完全なラティス準同型写像が区間位相に関して連続であること、およびスター収束を構成すること。さらに、特に$2^\omega$として知られる無限幅の完全ラティスを構成し、そのラティスが区間位相に関してハウスドルフであることを示している。主な貢献は、無限幅であっても、区間位相においてハウスドルフ分離が可能であることを示したことにある。

ABSTRACT

We solve problems 85 a(nd 87 from Birkhoff's book "Lattice Theory" (3rd edition)

研究の動機と目的

• 問題85を解決すること。すなわち、完全ラティス準同型写像がスター収束および区間位相に関して連続であるかどうかを問う問題である。
• 問題87に取り組むこと。すなわち、無限幅のラティスが区間位相に関してハウスドルフになり得るかどうかを問う問題である。
• 点ごとの順序に関して$2^\omega$として知られるべきべき集合ラティスが無限幅であり、かつ区間位相に関してハウスドルフであることを確立すること。
• 完全ラティス準同型写像が順序収束を保ち、かつ区間位相に関して連続であることを証明すること。
• フィルターと補基本開集合を用いて、ラティス理論における幅、位相、収束の関係を明確にすること。

提案手法

• 偏順序集合$X$上の補基本$\{X \setminus \downarrow x, X \setminus \uparrow x \mid x \in X\}$によって定義される区間位相を用いる。
• フィルターに基づく収束：偏順序集合$P$上のフィルター$\mathcal{F}$が$x$に順序収束するとは、$\bigwedge \mathcal{F}^u = x = \bigvee \mathcal{F}^\ell$が成り立つことである。
• スター収束を定義する：フィルター$\mathcal{F}$が$x$にスター収束するとは、$\mathcal{F}$の任意の上位フィルターが、$x$に順序収束する上位フィルターを含むことである。
• 完全ラティス準同型写像が順序収束を保つことを証明する。すなわち、$\mathcal{F} \to x$ならば$f(\mathcal{F}) \to f(x)$が成り立つことを示す。
• 積の偏順序集合における区間位相が、各成分の区間位相の積位相と一致することを確立する。
• $2 = \{0,1\}$で$0 < 1$とすると、離散的かつハウスドルフであるので、$2^\omega$の積位相（区間位相と同一）もハウスドルフである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての完全ラティス準同型写像は区間位相に関して連続か？
• RQ2 すべての完全ラティス準同型写像はスター収束に関して連続か？
• RQ3 無限幅のラティスは区間位相に関してハウスドルフになり得るか？
• RQ4 $2^\omega$における区間位相は、$2$の区間位相の積位相と一致するか？
• RQ5 点ごとの順序に関して完全ラティス$2^\omega$の幅は何か？

主な発見

• 完全ラティス準同型写像は区間位相に関して連続である。なぜなら、補基本閉集合の逆像が閉集合であるからである。
• 完全ラティス準同型写像は順序収束を保つ。すなわち、$\mathcal{F} \to x$ならば$f(\mathcal{F}) \to f(x)$が成り立つ。
• スター収束は完全準同型写像によって保たれる。これにより、問題85の第二部に対する肯定的解答が得られる。
• $2^\omega$は無限幅である。これは、集合$\{e_0, \dots, e_n\}$によって示され、$\inf(F)$がサイズ$\leq n$の適切な部分集合では再現できないことからわかる。
• $2^\omega$における区間位相はハウスドルフである。なぜなら、離散的かつハウスドルフな空間の積位相と一致するからである。
• 偏順序集合の積における区間位相は、各成分の区間位相の積に一致する。これにより、$2^\omega$のハウスドルフ性が確認される。