[論文レビュー] Problems and Conjectures presented at the Third International Conference on Permutation Patterns, University of Florida, March 7-11, 2005

Murray Elder, Vince Vatter|ArXiv.org|May 24, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 19被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、第3回国際ポリオミナルパターン会議で提起された、順列パターンの列挙に関する未解決問題と予想をまとめたものである。P-再帰的性質、ウィルフ同値性、成長率、スタックソーティング、アンチチェーンのサイズといったトピックを扱い、特にジールバーガーの予想（1324を避ける順列の列はP-再帰的でない）と、ファッターの予想（すべてのパターン回避クラスに対して成長率が存在する）を含む主要な予想を提示している。

ABSTRACT

We recount problems, questions and conjectures that arose during a problem session of the Third International Conference on Permutation Patterns, University of Florida, March 7-11, 2005.

研究の動機と目的

• 第3回国際ポリオミナルパターン会議から、順列パターン理論における未解決問題と予想を収集・広報すること。
• 特に1324パターンに対する、パターン回避順列列のP-再帰的性質を調査すること。
• 順列のウィルフ同値性と漸近的回避順序を調査すること。
• 順列クラスの成長率の存在性と性質を研究すること。
• スタックソーティングアルゴリズムと、t個のスタックを用いた順列のソーティングの複雑さを検討すること。

提案手法

• 生成関数とD-有限級数を用いて、パターン回避列のP-再帰的性質を分析する。
• 生成木と計算的列挙を用いて、s_n(1324)のような列の項を計算する。
• 直接和とスケーブ・マージド構成を用いて、特定の性質を持つ順列を構築する。
• (t+1)文字のコード語を用いてtスタックソーティング可能な順列をモデル化し、その数の偶奇を分析する。
• Mapleパッケージ WILFPLUS を活用して、Av(1324)の成長率の下界を改善する。
• 組合せ論的および代数的技法を用いて、アンチチェーンとその成長率を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1324パターンを避けるn順列の数はP-再帰的か。（ジールバーガーの予想）
• RQ2 すべての有限パターン集合に対して、その回避クラスの成長率が明確に定義されるか。（ファッターの予想）
• RQ3 t ≥ 3 のとき、長さnのtスタックソーティング可能な順列の数が奇数になり得るか。もし可能なら、どのような条件下で成立するか。（ボーナの予想）
• RQ4 一般の3スタックマシンでソーティング可能な順列のクラスには、有限の基本集合が存在するか。（アトキンソンの問題）
• RQ5 一般の3スタックソーティングマシンでソーティングできない最短の順列は何か。（ワトゥン対エルドの賭け）

主な発見

• ジールバーガーは、列s_n(1324)がP-再帰的でないと予想し、神ですらa_1000(1324)を計算できないと主張しており、D-有限でない可能性を示唆している。
• nの123を避ける合成の数は、無限個の特異点を持つ生成関数に基づき、P-再帰的でないと予想されている。
• 1スタックソーティング可能な順列の数が奇数であるのは、n = 2^k - 1のときに限る。これはカタラン数に対応する。
• 2スタックソーティング可能な順列の数が奇数であるのは、nの2進表現に連続する1がなく、1で終わるときであり、2^m未満のそのようなnの数はm番目のフィボナッチ数に等しい。
• 一般の2スタックマシンでソーティングできない最短の順列の長さは7であり、そのような順列は22個存在する。
• エルドとワトゥンは、3スタック用の一般マシンでソーティングできない最短の順列について賭けを行っており、エルドは15を、ワトゥンは22を予想している。