[論文レビュー] Problems for problem session

Vladimir L. Popov|ArXiv.org|Apr 25, 2005

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 6被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、代数幾何学および群論における特殊アフィンクリーモナ群 $\operatorname{Aut}^*_{k}k^{[n]}$ の構造に関する基礎的未解決問題を提示する。主なテーマは、ルート系、局所冪零微分作用素による生成、および同調空間の有理型に関するものである。本稿では、群が有限個の $\partial$-生成であると提唱し、有限位数の自己同型 $\sigma$ に対して $G/G^\sigma$ の有理型を予想している。主な結果として、ナガタ自己同型が単一の微分作用素を用いて $\partial$-生成可能であることが示されている。

ABSTRACT

Below are the problems that I formulated at Open Problems Session of {\it Workshop on Group Actions on Rational Varieties}, McGill University and University of Montreal, Canada, March 2002. To appear in: "Affine Algebraic Geometry" conference Proceedings volume in Contemporary Mathematics series of the Amer. Math. Soc. Ed. by Jaime Gutierrez, Vladimir Shpilrain, and Jie-Tai Yu.

研究の動機と目的

• 特殊アフィンクリーモナ群 $\operatorname{Aut}^*_{k}k^{[n]}$ の対角トーラス $T$ に関するすべてのルートおよびルートベクトルを分類すること。
• 群 $\operatorname{Aut}^*_{k}k^{[n]}$ が有限個の $\partial$-生成であるかどうか、すなわち局所冪零微分作用素の指数関数およびその重み付き版によって生成されるかどうかを特定すること。
• 群 $\operatorname{Aut}^*_{k}k^{[n]}$ における最大トーラス $T$ の中心化群および正規化群の構造を記述すること。
• 局所冪零微分作用素 $P, Q$ に対して、一パラメータ部分群 $\exp tP$ および $\exp tQ$ によって生成される群が有限次元となる条件を調査すること。
• 半単純代数群 $G$ および有限位数の自己同型 $\sigma$ に対して、同調空間 $G/G^\sigma$ が有理型であるかどうかを証明または反証すること。

提案手法

• 群 $\operatorname{Aut}^*_{k}k^{[n]}$ のルートベクトルを、$\sigma \circ D \circ \sigma^{-1} = \chi(\sigma)D$ を満たす局所冪零微分作用素 $D$ として定義する。ここで $\sigma \in T$ であり、$\chi$ は対角トーラス $T$ の特徴である。
• 指数写像 $\exp tD$ を用いて、局所冪零微分作用素 $D$ に対して $\operatorname{Aut}^*_{k}k^{[n]}$ の一パラメータ部分群を関連付ける。
• 微分作用素 $D$ の核 $\operatorname{Ker}D$ の元 $f$ を用いて、$fD$ として新たな局所冪零微分作用素を構成し、対応する自己同型 $\exp fD$ を得る。
• 群 $\operatorname{Aut}^*_{k}k^{[n]}$ の群構造を、$\operatorname{SL}_n$、平行移動群 $\operatorname{T}_n$、およびデ・ジョヌイエール群 $\operatorname{J}_n$ に分解することで分析する。
• 既知のトーラス作用の線形化に関する結果を応用し、次元が $<n-1$ の最大トーラスが存在しないことと、このような作用の下での $\mathbb{A}^n$ の有理型との関係を明らかにする。
• ナガタ自己同型を重要な例として用いる：$\sigma = \exp fD$ で、$D = -2x_2D_1 + x_3D_2$ かつ $f = x_3x_1 + x_2^2 \in \operatorname{Ker}D$ である。この例により、非ターム的であるにもかかわらず $\partial$-生成可能であることが示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対角トーラス $T$ に関して、特殊アフィンクリーモナ群 $\operatorname{Aut}^*_{k}k^{[n]}$ のすべてのルートおよびルートベクトルは何か？
• RQ2 群 $\operatorname{Aut}^*_{k}k^{[n]}$ は有限個の $\partial$-生成であるか、すなわち有限個の局所冪零微分作用素の指数関数およびその重み付き版によって生成されるか？
• RQ3 群 $\operatorname{Aut}^*_{k}k^{[n]}$ における $T$ の中心化群および正規化群の構造は何か？
• RQ4 局所冪零微分作用素 $P$ および $Q$ に対して、$\exp tP$ および $\exp tQ$ を含む最小の閉部分群が有限次元となるのはいつか？
• RQ5 連結な半単純代数群 $G$ および有限位数の自己同型 $\sigma$ に対して、同調空間 $G/G^\sigma$ は有理型か？

主な発見

• 群 $\operatorname{Aut}^*_{k}k^{[n]}$ は、ルートベクトル $x_iD_j$ ($i \neq j$) および $D_i$ を含み、それぞれ対角トーラス $T$ に対してルート $\varepsilon_i\varepsilon_j^{-1}$ および $\varepsilon_i$ を持つ。
• $n=3$ の場合、ナガタ自己同型は $\partial$-生成可能である：$\sigma = \exp fD$ で、$D = -2x_2D_1 + x_3D_2$ かつ $f = x_3x_1 + x_2^2 \in \operatorname{Ker}D$ である。これは、指数関数的微分作用素によって生成される群に属することを示している。
• $n=3$ の場合、$\mathbb{A}^3$ における体積を保存するトーラス作用が常に線形化可能であるかどうかという問題に対して、[KR]、[KR1]、[Ko]、[KM]、[KR2]、[KR3]、[KMKR] の結果に基づき肯定的である。
• $\operatorname{Aut}^*_{k}k^{[2]}$ は有限個の $\partial$-生成である。これは $\operatorname{SL}_2$、$\operatorname{T}_2$、$\operatorname{J}_2$ によって生成され、それぞれ有限個の微分作用素によって $\partial$-生成可能であるためである。
• $\operatorname{ord} \sigma = 2$ の場合、$G/G^\sigma$ が有理型であるという予想は成り立つ。なぜなら、このような空間はボレル部分群の稠密な開軌道を備えており、可解群の軌道は有理型であるからである。
• 最小の閉部分群 $\exp tP$ および $\exp tQ$ が有限次元であるのは、微分作用素 $P$ および $Q$ が特定の代数的整合性条件を満たす場合に限るが、正確な特徴づけは未解決のままである。