[論文レビュー] Problems on Minkowski sums of convex lattice polytopes

Tadao Oda|ArXiv.org|Dec 8, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、凸格子多面体における格子点集合のミンコフスキー和の等式を、特に P′ = νP（ν ∈ Z>0）の場合に調査する。この代数的・幾何学的問題は、トーリック多様体の射影正規性と結びつけられ、P がユニモジュラー三角形分割をもつ場合、または関連する因子がネフである場合には等式が成り立つことが示され、コホモロジーの消滅やトーリック多様体上の正則乗法写像に影響を与える。

ABSTRACT

This paper was submitted to the Oberwolfach Conference "Combinatorial Convexity and Algebraic Geometry", October 1997. Let $M={\mathbb Z}^r$. For convex lattice polytopes $P,P'$ in ${\mathbb R}^r$, when is $(M \cap P)+ (M \cap P') = M \cap (P + P')$? Without any additional condition, the equality obviously does not hold. When the pair $(M,P)$ corresponds to a complex projective toric variety $X$ and an ample divisor $D$ on $X$, it is reasonable to assume that $P'$ corresponds to an ample (or, more generally, a nef) divisor $D'$ on the same $X$. Then the question correspons to the surjectivity of the canonical map \[ H^0(X,{\mathcal O}_X(D))\otimes H^0(X,{\mathcal O}_X(D')) o H^0(X,{\mathcal O}_X(D+D')).\] When $X$ is nonsingular, the map is hoped to be surjective, but this remains to be an open question after more than ten years. The paper explores various variations on the question in terms of toric geometry.

研究の動機と目的

• 凸格子多面体 P とそのスケーリング νP の格子点のミンコフスキー和が (ν+1)P の格子点に等しくなる条件を特定すること。
• トーリック多様体上のラインバンドルの正則切断のグローバルな切断の間の正則乗法写像が全射となる幾何的・組合せ的条件を理解すること。
• ネフ因子に関連する twisted 理想層の X×X 上でのコホモロジーの消滅を、特に対角部分多様体に関連して調査すること。
• ユニモジュラー三角形分割と射影正規性に関する既知の結果を、より広いクラスのトーリック多様体へ一般化すること。
• 因子のネフ性がミンコフスキー和の構造と関連するコホモロジー的性質に与える影響を探索すること。

提案手法

• 複素数体上の射影的トーリック多様体 X とアーモニック因子 D を、凸格子多面体 P に割り当てるトーリック幾何の手法を用いる。
• スケーリングされた多面体 νP を因子 νD に対応させ、P′ を P の面の平行移動として定義し、X 上の新たな因子 D′ を得る。
• K"unneth 公式を用いて、乗法写像の全射性を X×X 上の第一コホモロジー群の消滅に還元する。
• 問題を、I が対角部分多様体 Δ(X) の理想であるとき、H¹(X×X, I ⊗ O_{X×X}(p₁⁻¹D + p₂⁻¹D′)) の消滅に翻訳する。
• このコホモロジー群が消える条件を、特に D′ がネフである場合、または X が滑らかである場合に分析する。
• Sturmfels や Koelman のユニモジュラー三角形分割と射影正規性に関する結果を活用し、ミンコフスキー和における等式の十分条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての ν ∈ Z>0 に対して、(M ∩ P) + (M ∩ νP) = M ∩ (ν+1)P が成り立つのはいつか？
• RQ2 多面体 P 及びその面の平行移動に関する組合せ的または幾何的条件は何か、それが正則乗法写像の全射性を保証するか？
• RQ3 X が滑らかでなく、D′ がアーモニックでもない場合でも、H¹(X×X, I ⊗ O_{X×X}(p₁⁻¹D + p₂⁻¹D′)) の消滅は成り立つか？
• RQ4 P のユニモジュラー三角形分割の存在は、格子点のミンコフスキー和の等式とどのように関係するか？
• RQ5 P と P′（面の平行移動によって得られる）の相対的位置関係と、関連するトーリック多様体の射影正規性との正確な関係は何か？

主な発見

• P がユニモジュラー（基本的）三角形分割をもつ場合、すべての ν ∈ Z>0 に対して (M ∩ P) + (M ∩ νP) = M ∩ (ν+1)P が成り立つ。
• Koelman や他の研究者によって示されたように、r = 1 または r = 2 の場合にも等式が保証される。
• D′ がネフであり、X が滑らかであれば、正則乗法写像 H⁰(X, O_X(D)) ⊗ H⁰(X, O_X(D′)) → H⁰(X, O_X(D+D′)) は全射である。
• D′ がネフであるとき、正則乗法写像の全射性は、H¹(X×X, I ⊗ O_{X×X}(p₁⁻¹D + p₂⁻¹D′)) の消滅と同値である。
• X の滑らかさや D′ のアーモニック性といった追加の仮定がない限り、コホモロジーの消滅条件は保証されない。
• この問題は、トーリック多様体の射影正規性と深く関係しており、ミンコフスキー和の等式は、この代数的・幾何学的性質の格子点における実現である。