[論文レビュー] Process-Based Risk Measures and Risk-Averse Control of Discrete-Time Systems

Jingnan Fan, Andrzej Ruszczyński|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2014

Risk and Portfolio Optimization参考文献 43被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、制御された離散時間確率過程におけるリスク回避的制御を焦点に、プロセスベースのリスク測度を導入する。時間的一致性の新しい概念、すなわち確率的条件付き時間的一致性を提案し、状態空間関数上の静的かつ法則に依存しないリスク測度を通じて動的プログラミングの定式化を可能にする。これにより、先行研究を一般化し、リスク回避的マルコフ制御問題の理論的基盤を提供する。

ABSTRACT

For controlled discrete-time stochastic processes we introduce a new class of dynamic risk measures, which we call process-based. Their main features are that they measure risk of processes that are functions of the history of a base process. We introduce a new concept of conditional stochastic time consistency and we derive the structure of process-based risk measures enjoying this property. We show that they can be equivalently represented by a collection of static law-invariant risk measures on the space of functions of the state of the base process. We apply this result to controlled Markov processes and we derive dynamic programming equations.

研究の動機と目的

• 制御されたマルコフ過程における動的リスク測度理論の既存の限界、特に時間的一致性と法則に依存しない性質に関する課題を解決すること。
• 効用関数、指数的、平均分散モデルを一般化する統一的なリスク回避的制御の枠組みを構築すること。
• 状態依存のリスクマッピングを用いた再帰的リスク評価を可能にする、新たな確率的条件付き時間的一致性の概念を確立すること。
• 一般の制御されたマルコフ遷移カーネルを想定した下で、リスク回避的制御のための動的プログラミング方程式を導出すること。
• プロセスベースのリスク測度のための厳密な理論的基盤を構築し、先行研究における恣意的な構成を解消すること。

提案手法

• 制御された過程の全サンプルパス全体のリスクを評価するプロセスベースのリスク測度を導入し、コスト関数 $ Z_t = c_t(X_t, u_t) $ の形に注目する。
• 点での比較ではなく、条件付き分布とストキャスティックドミナスランスに基づく、新たな時間的一致性の概念である確率的条件付き時間的一致性を提案する。
• この性質を満たすリスク測度が、状態空間 $ \mathcal{X} $ の関数上での静的かつ法則に依存しないリスク測度の族と同等であることを同定する。
• 状態空間関数上での1ステップマッピングによって再帰的に定義されるリスク測度を用いて、動的プログラミング方程式を導出する。
• 確率測度の弱収束下でリスクマッピングの弱連続性および下位半連続性を確立し、最適化における安定性を保証する。
• この枠組みを制御されたマルコフ過程に適用し、[40]の先行結果を回復するとともに、より広範な適用可能性を持つように一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御された離散時間系における確率的過程全体にわたる動的リスク測度を、どのように一貫して定義できるか？
• RQ2 制御されたマルコフ過程の文脈において、確率的条件付き時間的一致性を満たすためにリスク測度がどのような形をとる必要があるか？
• RQ3 状態空間関数上の静的かつ法則に依存しないリスク測度を用いて、リスク回避的制御問題を再帰的構造を保ちながら定式化できるか？
• RQ4 プロセスベースのリスク測度は、効用関数ベース、エントロピック、平均分散アプローチといった既存のモデルをどのように一般化するか？
• RQ5 最適化の目的で、得られるリスクマッピングの連続性および下位半連続性を保証する条件は何か？

主な発見

• 本稿は、確率的条件付き時間的一致性を満たすプロセスベースのリスク測度が、状態空間の関数上に定義された静的かつ法則に依存しないリスク測度の族と同等であることを確立した。
• 一般の制御された遷移カーネルを想定した下で、制御されたマルコフ過程のリスク回避的制御に向けた動的プログラミングの原則が導出された。
• この枠組みは、効用関数ベースおよびエントロピックリスクモデルを一般化するが、時間的一致性に欠けるため平均分散モデルは含まない。
• リスクマッピング $ \sigma(x, q, v) $ が $ q $ に関して弱連続であり、$ v $ に関し下位半連続であることが示され、最適化における安定性が保証された。
• 状態依存の $ \alpha(x) $ を持つ平均値におけるリスク（Average-Value-at-Risk）に対しては、$ \alpha(x) $ の連続性が保たれれば、マッピングが連続であることが示され、数値的アプローチの支援が得られた。
• 理論は、[40]における直感的かつ恣意的な構成を、厳密な公理的展開によって解消する固体な基盤を提供した。