[論文レビュー] Product and coproduct in string topology

Nancy Hingston, Nathalie Wahl|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2017

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、閉リーマン多様体の自由ループ空間上の Goresky-Hingston コホモロジー積とホモロジー余積を、整数係数の特異チェインへ拡張し、相対的でない、次数付きの結合的かつ可換な積と余積を構成する。主な結果は、余積の k 回反復の非消滅性が、すべての代表的ループに少なくとも (k+1) 重の自己交差を持つことを示しており、これは球面や射影空間においては鋭い結果である。

ABSTRACT

Let M be a closed Riemannian manifold. We extend the product of Goresky-Hingston, on the cohomology of the free loop space of M relative to the constant loops, to a nonrelative product. It is graded associative and commutative, and compatible with the length filtration on the loop space, like the original product. We prove the following new geometric property of the dual homology coproduct: the nonvanishing of the k-th iterate of the coproduct on a homology class ensures the existence of a loop with a (k+1)-fold self-intersection in every representative of the class. For spheres and projective spaces, we show that this is sharp, in the sense that the k-th iterated coproduct vanishes precisely on those classes that have support in the loops with at most k-fold self-intersections. We study the interactions between this cohomology product and the more well-known Chas-Sullivan product. We give explicit integral chain level constructions of these loop products and coproduct, including a new construction of the Chas-Sullivan product, which avoid the technicalities of infinite dimensional tubular neighborhoods and delicate intersections of chains in loop spaces.

研究の動機と目的

• 自由ループ空間上の整数係数特異チェインへ、相対的 Goresky-Hingston コホモロジー積とホモロジー余積を上げること。
• 長さフィルトレーションと整合する、相対的でない、次数付きの結合的かつ可換なコホモロジー積とホモロジー余積を定義すること。
• 反復された余積とループ代表の最小自己交差数との間に幾何的関係を確立すること。
• 無限次元のチューブ近傍や微細な交差極限に依存せずに、Chas-Sullivan 積と余積の明示的で幾何的なチェインレベルの構成を提供すること。
• 球面および射影空間に対して、k 回反復された余積が、高々 k 重の自己交差を持つループにのみ支持されるクラスにのみ消えることを示すこと。

提案手法

• M×M の対角部分のチューブ近傍から導かれるリトラクション写像を用いて、Chas-Sullivan 積と余積を構成する。
• トム類のカップ積を経由し、共通の基点にリトラクトした後、ループの連結によってコホモロジー積を定義する。
• 自己交差を持つループに対して、符号を正しく補正したカット写像を適用し、測地的スティックを用いて対角にリトラクトした後、ホモロジー余積を定義する。
• 評価写像 ΛM → M を用いてホモロジーとコホモロジーを分割し、ゼロへの拡張により相対的でない作用を定義する。
• 定数ループにおけるゼロへの拡張を用いて、相対的演算を整数係数チェインへ上げ、長さフィルトレーションと整合することを保証する。
• 符号を正しく補正したチェインレベルの構成と、カップ積およびクロス積を用いた図式追跡を用いて、結合性、次数付き可換性、長さフィルトレーションとの整合性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反復された余積は、ループ代表の最小自己交差数を検出できるか？
• RQ2 無限次元のチューブ近傍を用いずに、Chas-Sullivan 積と Goresky-Hingston 余積を整数係数チェインレベルで構成可能か？
• RQ3 k 回反復された余積が非消えることから、(k+1) 重の自己交差を持つ代表が存在することが保証されるか？
• RQ4 球面および射影空間に対して、k 回反復された余積が、高々 k 重の自己交差を持つループにのみ支持されるクラスにのみ消えるか？
• RQ5 新しいチェインレベルの積と余積は、代数的にどのように作用するか、特にフロベニウス恒等式に関してどうなるか？

主な発見

• ホモロジー類上で k 回反復された余積が非消えるならば、その類のすべての代表に、少なくとも (k+1) 重の自己交差を持つループが含まれる。
• 球面および複素射影空間に対して、k 回反復された余積が消えるのは、高々 k 重の自己交差を持つループにのみ支持されるクラスに限るため、この不変量は鋭い。
• 構成されたコホモロジー積 b⊛ は、次数付きの結合的かつ可換であり、ループ空間上の長さフィルトレーションと整合する。
• 余積 b∨ は、恒等式 ∧◦b∨=0 を満たし、Chas-Sullivan 積とある種の対合的双対性を持つことを示している。
• 本論文は、無限次元のチューブ近傍や微細な交差極限の技術的困難を避ける、新しい幾何的チェインレベルの Chas-Sullivan 積の構成を提供する。
• 定義における符号補正により、積と余積が結合性や次数付き可換性といった期待される代数的性質を満たすことが保証されている。