[論文レビュー] Product commuting maps with the $\lambda$-Aluthge transform

Fadil Chabbabi|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルト空間 H と K 上の有界線形作用素代数 𝒮(H) と 𝒮(K) 間の全単射写像 Φ: 𝒮(H) → 𝒮(K) が λ-アラウトゲ変換と可換である条件を特徴づけ、そのような写像が単位的作用素 U: H → K によって実装される空間的自己同型であることを証明している。すなわち、すべての A ∈ 𝒮(H) に対して Φ(A) = UAU* が成り立つ。この結果は、すべての A, B と固定された λ ∈ (0,1) に対して Δλ(Φ(A)Φ(B)) = Φ(Δλ(AB)) を満たす条件下で成り立ち、次元 dim(H) > 2 の場合に成立する。線形性を事前に仮定しない条件下でも自動連続性が保証される。

ABSTRACT

Let H and K be two Hilbert spaces and B(H) be the algebra of all bounded linear operators from H into itself. The main purpose of this paper is to obtain a characterization of bijective maps $\\Phi$ : B(H) $\ ightarrow$ B(K) satisfying the following condition $\\Delta$ $\\lambda$ ($\\Phi$(A)$\\Phi$(B)) = $\\Phi$($\\Delta$ $\\lambda$ (AB)) f orall A, B $\\in$ B(H), where $\\Delta$ $\\lambda$ (T) stands the $\\lambda$-Aluthge transform of the operator T $\\in$ B(H). More precisely, we prove that a bijective map $\\Phi$ satisfies the above condition, if and only , if $\\Phi$(A) = U AU * for all A $\\in$ B(H), for some unitary operator U : H $\ ightarrow$ K.

研究の動機と目的

• Δλ が λ-アラウトゲ変換を表すものとする。すべての A, B ∈ 𝒮(H) に対して Δλ(Φ(A)Φ(B)) = Φ(Δλ(AB)) を満たす全単射写像 Φ: 𝒮(H) → 𝒮(K) を特徴づけること。
• 線形性や連続性を事前に仮定しない条件下で、このような写像の正確な構造を特定すること。
• このような写像の唯一の可能性が、単位的作用素 U: H → K によって実装される空間的自己同型であることを示すこと。
• 写像 Φ が線形または反線形であることを示し、Φ の下で λ-アラウトゲ変換が可逆性と固有値特性を保存することを示すこと。
• 次元 dim(H) = 1 の場合を解明し、非加法的反例によって結果が成立しないことを示すこと。

提案手法

• T ∈ 𝒮(H) に対して、λ-アラウトゲ変換 Δλ(T) = |T|^λ V |T|^{1−λ} を定義する。ここで T = V|T| は極分解である。
• 準正規作用素が Δλ の固定点であることを証明する。すなわち、Δλ(T) = T であることと T が準正規であることとは同値である。
• Φ が射影と冪等元を保存し、直交射影を直交射影に写すことの証明を行う。
• 数値域上で Φ が加法的かつ乗法的であることを示し、複素数体 ℂ 上の体自己同型 h を得る。
• h が連続であることから、恒等写像または複素共役のいずれかであることを用い、Φ が線形または反線形であることを示す。
• 文献[5] の結果を応用し、Φ が可逆作用素 V やその随伴による共役であることを導出し、射影を保存することから V が単位的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての A, B ∈ 𝒮(H) と固定された λ ∈ (0,1) に対して Δλ(Φ(A)Φ(B)) = Φ(Δλ(AB)) を満たす全単射写像 Φ: 𝒮(H) → 𝒮(K) の完全な構造は何か？
• RQ2 線形性や連続性を仮定しない場合、このような写像を特徴づけることは可能か？
• RQ3 Φ の下で λ-アラウトゲ変換が代数的構造を保存するか。もしそうなら、その保存方法は何か？
• RQ4 なぜ次元 1 の場合に結果が成り立たないのか。反例の性質は何か？
• RQ5 Φ の唯一の可能な形は、必ずしも単位的作用素による空間的自己同型であるのか？

主な発見

• 全単射写像 Φ: 𝒮(H) → 𝒮(K) がすべての A, B ∈ 𝒮(H) に対して Δλ(Φ(A)Φ(B)) = Φ(Δλ(AB)) を満たすことは、Φ(A) = UAU* for all A ∈ 𝒮(H) であるための必要十分条件である。ここで U: H → K は単位的作用素である。
• 連続性は仮定されていないが、写像 Φ は自動的に連続である。
• Φ は可逆性を保存する。すなわち、A が可逆ならば Φ(A) も可逆であり、(Φ(A))⁻¹ = Φ(A⁻¹) が成り立つ。
• Φ は、複素数体 ℂ 上の誘導された体自己同型が恒等写像か複素共役かに応じて線形または反線形である。
• Φ は不変部分空間の格子と、σ*(Δλ(T)) = σ*(T) などの固有値特性を保存する。
• 次元 1 の場合、結果は成り立たない。反例として、z ≠ 0 のとき Φ(z) = 1/z、Φ(0) = 0 と定義される全単射で非加法的な写像が存在する。