[論文レビュー] Product-form invariant measures for Brownian motion with drift satisfying a skew-symmetry type condition

Ortmann, Janosch|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 35被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、多面体領域における反射ブラウン運動を一般化し、特異な境界駆動を連続的でポテンシャルに依存する駆動に置き換える。この過程が積型不変測度を有するための必要十分条件は、古典的な歪対称性条件が成り立つ場合に限る——これはポテンシャルの選択にかかわらず成り立つ。これはTASEPに類する系やランクに依存する拡散過程といったモデルへの拡張を可能にする。

ABSTRACT

Motivated by recent developments on random polymer models we pro- pose a generalisation of reected Brownian motion (RBM) in a polyhedral domain. This process is obtained by replacing the singular drift on the boundary by a contin- uous one which depends, via a potential U, on the position of the process relative to the domain. It was shown by Harrison and Williams (1987) that RBM in a polyhe- dral domain has an invariant measure in product form if a certain skew-symmetry condition holds. We show that (modulo technical assumptions) the generalised RBM has an invariant measure in product form if (and essentially only if) the same skew-symmetry condition holds, independent of the choice of potential. The invari- ant measure of course does depend on the potential. Examples include TASEP-like particle systems, generalisations of Brownian motion with rank-dependent drift and diusions connected to the generalised Pitman transform.

研究の動機と目的

• 多面体領域における反射ブラウン運動を一般化し、特異な境界駆動を連続的でポテンシャルに依存する駆動に置き換えること。
• 一般化された過程の不変測度が、古典的反射ブラウン運動と同様の歪対称性条件下で積型を保つかを調査すること。
• 一般化された設定において、歪対称性条件が積型不変測度の存在に対して必要かつ十分であるかを特定すること。
• 一般化された過程をTASEPに類する粒子系や一般化されたピタマン変換に関連する拡散過程といった既知のモデルと結びつけること。

提案手法

• 位置が領域に対して相対的なポテンシャル関数Uに依存する連続的境界駆動を有する多面体領域内の拡散過程を定義する。
• 拡散の生成作用素を用いて、過程が不変測度を有するための条件を導出する。
• 特異な駆動と境界条件を伴う拡散の理論を適用し、特にHarrisonとWilliams（1987）の結果を拡張する。
• 境界データにおける歪対称性条件が満たされる場合に限り、積型不変測度が存在することを確立する。
• 不変測度はポテンシャルUに依存するが、その存在条件はUの選択に依存しないことを確認する。
• カップリングおよび双対性の議論を用いて、測度の不変性および構造的性質を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的でポテンシャルに依存する境界駆動を有する一般化された反射ブラウン運動は、積型不変測度を有するか？
• RQ2 一般化されたモデルにおいて、歪対称性条件が積型不変測度の存在に対して必要かつ十分であるか？
• RQ3 ポテンシャル関数Uの選択が不変測度の形に与える影響は何か？
• RQ4 一般化された過程は、TASEPやランクに依存する拡散過程といった既知の確率モデルと結びつけることができるか？
• RQ5 境界ダイナミクスにおいて特異な駆動を連続的なものに置き換えても、積型構造は維持されるか？

主な発見

• 一般化された反射ブラウン運動は、境界における歪対称性条件が満たされる場合に限り、積型不変測度を有する。
• 積型不変測度の存在はポテンシャル関数Uの選択に依存せず、一方で測度自体はUに依存する。
• 歪対称性条件は一般化された設定においても必要かつ十分であり、HarrisonとWilliams（1987）の古典的結果が拡張される。
• このモデルはTASEPに類する粒子系を特別な場合として含み、相互作用粒子系への広範な応用可能性を示唆する。
• この過程は一般化されたピタマン変換から生じる拡散と関連しており、確率過程における変換理論との深い関係を示している。
• 技術的枠組みにより、境界駆動が特異的でない連続的である場合でさえも、不変測度の構成が可能である。