[論文レビュー] Product of positive semi-definite matrices

Jianlian Cui, Chi-Kwong Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2015

graph theory and CDMA systems被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非負の行列式を持つ任意の複素正方行列に対して、3つまたは4つの正定値半定値行列の積として表現可能な行列の完全な特徴付けを提供し、行列因子分解理論における重要な空白を埋めている。ユニタリ同相変換を用いて行列を可逆ブロックと冪零ブロックを持つ上三角行列に簡約化し、そのブロック構造と数値範囲に基づいた必要十分条件を導出し、与えられた行列に必要な正定値半定値行列の最小数をアルゴリズミックに特定可能にする。

ABSTRACT

It is known that every complex square matrix with nonnegative determinant is the product of positive semi-definite matrices. There are characterizations of matrices that require two or five positive semi-definite matrices in the product. However, the characterizations of matrices that require three or four positive semi-definite matrices in the product are lacking. In this paper, we give a complete characterization of these two types of matrices. With these results, we give an algorithm to determine whether a square matrix can be expressed as the product of $k$ positive semi-definite matrices but not fewer, for $k = 1,2,3,4,5$.

研究の動機と目的

• 1つ、2つ、5つの因子についてのみ既存の研究が存在する中で、積に必要な正定値半定値行列が正確に3つまたは4つの行列の特徴付けを埋める。
• 非負の行列式を持つ任意の複素正方行列を表現するために必要な正定値半定値行列の最小数を完全かつアルゴリズム的に特定する基準を提供する。
• 上三角行列に可逆ブロックと冪零ブロックを含む行列が、その対角ブロックの性質に従って3つの正定値半定値行列の積として表現可能かどうかという未解決の問題を解消する。
• 数値範囲と固有値の引数の和を用いて、可逆行列が3つの正定値行列の積として表現可能であるための必要十分条件を確立する。

提案手法

• ユニタリ同相変換を用いて任意の行列を可逆ブロック $ T_1 $ と冪零ブロック $ T_2 $ を持つ上三角行列に変換し、非対角ブロック $ R $ を分離する。
• 可逆ブロック $ T_1 $ のスペクトル的性質を分析するための鍵となるツールとして、数値範囲 $ W(A) $ を用いる。特に、0がその内部に含まれるかどうかを評価する。
• ユニタリ不変性と類似変換を用いて、行列が2つの正定値半定値行列の積であるための同値条件を確立する。
• 行列 $ T $ が3つの正定値半定値行列の積であるための必要十分条件を示す：$ R \neq 0 $ または $ T_2 \neq 0 $、または両方とも0であり、かつ $ T_1 $ が3つの正定値行列の積である場合。
• $ T_1 $ が3つの正定値行列の積であるための基準を提示：$ \det(T_1) > 0 $ かつ $ 0 \in \mathrm{int}(W(T_1)) $、または $ 0 \notin \mathrm{int}(W(T_1)) $ だが $ W(T_1) $ に正の数を含み、固有値の引数の和が0である場合。
• 行列 $ A \in M_n $ が $ \det(A) \geq 0 $ を満たす場合、そのユニタリ同相形の構造とブロック、数値範囲の性質に基づいて、$ k \in \{1,2,3,4,5\} $ の最小値を特定するアルゴリズムを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素正方行列が正確に3つの正定値半定値行列の積として表現可能であるための必要十分条件は何か？
• RQ2 特に、スカラー倍の単位行列でない負の実スカラーを含む場合、4つの正定値半定値行列が必要な行列の特徴付けを完成できるか？
• RQ3 数値範囲の内部に0を含まない場合、可逆行列 $ T_1 $ が3つの正定値行列の積であるための条件は何か、特にその場合に注目する。
• RQ4 上三角行列に可逆対角ブロックと冪零ブロックを持つ行列が、ユニタリ同相変換のもとで3つの正定値半定値行列の積である性質を保つ条件は何か？
• RQ5 与えられた行列が非負の行列式を持つ場合、その行列が $ k $ 個の正定値半定値行列の積として表現可能である最小の $ k \in \{1,2,3,4,5\} $ を特定するアルゴリズム的手順は何か？

主な発見

• 可逆ブロック $ T_1 $ と冪零ブロック $ T_2 $ を持つ行列 $ T = \begin{bmatrix} T_1 & R \\ 0 & T_2 \end{bmatrix} $ が3つの正定値半定値行列の積であるための必要十分条件は、$ R \neq 0 $、$ T_2 \neq 0 $、または両方とも0であり、かつ $ T_1 $ が3つの正定値行列の積である場合である。
• 可逆行列 $ T_1 $ が3つの正定値行列の積であるための必要十分条件は、$ \det(T_1) > 0 $ かつ $ 0 \in \mathrm{int}(W(T_1)) $、または $ 0 \notin \mathrm{int}(W(T_1)) $ だが $ W(T_1) $ に正の数を含み、固有値の引数の和が0である場合である。
• 行列 $ A $ が負の実スカラー倍の単位行列、すなわち $ A = \alpha I_n $、$ \alpha \notin [0, \infty) $ の形である場合、正確に5つの正定値半定値行列を必要とし、それより少ない数では表現不可能である。
• アルゴリズムは、行列 $ A \in M_n $ が $ \det(A) \geq 0 $ を満たす場合、そのユニタリ同相形とブロック、数値範囲の性質に基づいて、最小の $ k \in \{1,2,3,4,5\} $ を正しく特定する。
• 本稿は、$ \det(T_1) > 0 $ が $ T $ が3つの正定値半定値行列の積であるために必要であるが十分でないという予想を解消し、数値範囲と固有値の引数の和を用いた完全な特徴付けを提供する。
• 正確に4つの正定値半定値行列が必要な行列の特徴付けは完全に完成している：このような行列は、4つ未満の行列の積として表現できないものであり、特に $ T_1 \oplus 0_p $ の形で表され、$ T_1 $ が3つの正定値行列の積であるための条件(i)と(ii)の両方を満たさないものである。