[論文レビュー] Product of powers of distinct primes as sums of Fibonacci numbers

Herbert Batte, Florian Luca+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2026

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ひとこと要約

この論文は q ≤ 1000 の全ての素数ペア (p,q) を特定し、F_n + F_m が少なくとも二通りで p^x q^y と等しくなる場合の全ての組を列挙する。対応する表現を示す。

ABSTRACT

Let $F_n$ be the $n$-th Fibonacci number. In this paper, we study the Diophantine equation $F_n+F_m=p^xq^y$ in nonnegative integers $n\ge m$, $x$ and $y$, where $p$ and $q$ are fixed distinct prime numbers. We determine all pairs of primes $(q,p)$ with $q\le \min\{1000,p\}$ such that the above equation has at least two solutions $(x,y)$ (and corresponding $m,n$) in positive integers.

研究の動機と目的

• 固定の異なる素数 p および q に対して Diophantine 方程式 F_n + F_m = p^x q^y を動機づけ、解く。
• q ≤ 1000 の素数対 (p,q) に対して、正整数 (x,y) および (m,n) の解が少なくとも二つ存在するすべてを判定する。
• 特定された素数対に対して明示的なフィボナッチ表現を作成する。
• 変数を境界づけるために Baker 型の界、対数の線形形、縮約技法を用いて境界を絞り、解を列挙する。

提案手法

• F_n および L_n のビネ公式を用いて表現と不等式を導出する。
• 線形形式の対数に対する Baker 型下界（Matveev）を適用して n および m の明示的境界を得る。
• 連分数（Legendre）と LLL（LLL-縮約）格子基底縮約を用いて境界を絞り、探索空間を縮小する。
• フィボナッチ数およびルーカ数の原始的除数の性質（Carmichael, McDaniel）を用いて素因数を制御する。
• q ≤ 1000 の場合の小素数のケースについてケース分析を行い、SageMath を用いてすべての解を検証・列挙する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された異なる素数 p および q に対して、F_n + F_m = p^x q^y を満たす表現 (x,y) はいくつ存在するか。
• RQ2 q ≤ 1000 の素数対のうち、少なくとも二つのこのような表現を認める pairs はどれか、対応する (n,m,x,y) は何か。

主な発見

• n ≥ m ≥ 0 および n,m ≠ 2 のとき、Diophantine 方程式 F_n + F_m = p^x q^y が少なくとも二つの異なる (x,y) 解を持つのは、(p,q) が {(3,2),(5,2),(7,2),(7,3),(17,2),(19,2)} にあるときだけである。
• 各該当ペアについて p^x q^y を生み出すすべての対応する (n,m,x,y) を列挙する明示的なフィボナッチ和の表現を提供する。
• 対数の線形形、連分数、および格子縮約を用いて n（ひいては m）に対する強い上界を証明し、小素数の場合の全列挙を可能にする。
• q ≤ 1000 かつ p > 1000 の場合、六つの列挙済みペアを超える追加の二解条件を満たすペアは存在しないことを、詳細な排除過程の後で示している。