[論文レビュー] Product preserving bundle functors on multifibered and multifoliate manifolds

В. В. Шурыгин|arXiv (Cornell University)|May 23, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、多葉構造の同値類と有限完全射影的系（射影的系）の同値類との間に一対一対応を確立する。すべての積を保存するバンドル関手が、滑らかな多葉多様体および多繊維多様体の上に、滑らかな多様体上の積を保存するバンドル関手の自然変換の帰納的系との間に自然な双対性にあることを示すことにより、完全に分類される。

ABSTRACT

We show that the set of the equivalence classes of multifoliate structures is in one-to-one correspondence with the set of equivalence classes of finite complete projective systems of vector space epimorphisms. After that we give the complete description of all product preserving bundle functors on the categories of multifibered and multifoliate manifolds.

研究の動機と目的

• 多葉構造の同値類と有限完全射影的系（射影的系）の同値類との間に一対一対応を確立すること。
• 滑らかな多様体上の積を保存するバンドル関手の分類を、多繊維多様体および多葉多様体へと拡張すること。
• 滑らかな多様体上の積を保存するバンドル関手の自然変換の帰納的系を用いて、多繊維多様体の圏におけるすべての積を保存するバンドル関手の完全な記述を提供すること。
• ミクルスキー（1996）の繊維多様体に関する結果を、より広い多葉構造の設定へ一般化すること。
• 射影的系の完備化を定義し、その性質を特徴づけることにより、多葉多様体の文脈における完全性を保証すること。

提案手法

• 有限次元実ベクトル空間の射影的系を、線形全射を射として定義する。
• 任意の有限余次元不変部分空間が標準的射影の核として現れるような完全な射影的系の概念を導入する。
• 任意の射影的系に対して、すべての有限余次元不変部分空間の逆極限を取ることで、その完備化を構成する。
• 滑らかな多様体を拡張するカテゴリとして、多繊維多様体および多葉多様体を定義し、それらの構造を射影的系によって支配する。
• 滑らかな多様体上の積を保存する関手の自然変換の帰納的系 $ \mu $ から、バンドル関手 $ T^\mu $ を構成する。
• 任意の積を保存するバンドル関手 $ F $ と標準的関手 $ T^{\mu^F} $ を結ぶ自然変換 $ \kappa $ および $ \widetilde{\nu} $ を用いて、自然同値を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな多様体上の多葉構造は、代数的データとしてどのように分類されるか？
• RQ2 多繊維多様体の圏における積を保存するバンドル関手の完全な特徴づけは何か？
• RQ3 滑らかな多様体上の積を保存する関手の自然変換の帰納的系は、多繊維多様体上のバンドル関手とどのように関係するか？
• RQ4 多繊維多様体上のバンドル関手が、帰納的系 $ \mu $ から構成された関手 $ T^\mu $ と同値であるための条件は何か？
• RQ5 2つのこのような関手間の自然変換が、その基本関手における成分によって一意に決定されるための条件は何か？

主な発見

• 多葉構造の同値類と有限完全射影的系（射影的系）の同値類との間に、標準的な双対性が存在する。
• 多繊維多様体の圏におけるすべての積を保存するバンドル関手は、滑らかな多様体上の積を保存する関手の自然変換の帰納的系 $ \mu $ から構成された関手 $ T^\mu $ と自然同値である。
• 任意の積を保存するバンドル関手 $ F $ に対して、自然変換 $ \kappa: F \to T^{\mu^F} $ は自然同値である。これにより、完全な分類が確立される。
• 写像 $ F \mapsto \mu^F $ は、$ \mathcal{FM}_\Lambda $ 上の積を保存するバンドル関手の同値類と、$ \mathcal{M}f $ 上の自然変換の帰納的系の同値類との間に双対性を誘導する。
• 2つのバンドル関手 $ F $ と $ \overline{F} $ が同値であることと、それらに対応する帰納的系 $ \mu^F $ と $ \mu^{\overline{F}} $ が、整合性を持つ自然変換の族によって同値であることとは同値である。
• ベクトル空間の射影的系の完備化により、すべての有限余次元不変部分空間が射影の核として実現され、これが分類に不可欠である。