[論文レビュー] Product structure of graph classes with bounded treewidth

Rutger Campbell, Katie Clinch+9 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2022

Advanced Graph Theory Research被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有界幅の木幅を持つグラフと固定サイズの完全グラフの強積に部分グラフとして埋め込めるグラフクラスを特徴付けるために、『基本的木幅』の概念を導入する。平面的グラフおよび $K_{s,t}$-minor-free グラフはそれぞれ基本的木幅 3 および $s$ を持ち、単調なグラフクラスが有界な基本的木幅を持つための完全な特徴付けが、除外された位相的部分グラフを用いて与えられる。

ABSTRACT

We show that many graphs with bounded treewidth can be described as subgraphs of the strong product of a graph with smaller treewidth and a bounded-size complete graph. To this end, define the "underlying treewidth" of a graph class $\mathcal{G}$ to be the minimum non-negative integer $c$ such that, for some function $f$, for every graph ${G \in \mathcal{G}}$ there is a graph $H$ with ${ ext{tw}(H) \leq c}$ such that $G$ is isomorphic to a subgraph of ${H \boxtimes K_{f( ext{tw}(G))}}$. We introduce disjointed coverings of graphs and show they determine the underlying treewidth of any graph class. Using this result, we prove that the class of planar graphs has underlying treewidth 3; the class of $K_{s,t}$-minor-free graphs has underlying treewidth $s$ (for ${t \geq \max\{s,3\}}$); and the class of $K_t$-minor-free graphs has underlying treewidth ${t-2}$. In general, we prove that a monotone class has bounded underlying treewidth if and only if it excludes some fixed topological minor. We also study the underlying treewidth of graph classes defined by an excluded subgraph or excluded induced subgraph. We show that the class of graphs with no $H$ subgraph has bounded underlying treewidth if and only if every component of $H$ is a subdivided star, and that the class of graphs with no induced $H$ subgraph has bounded underlying treewidth if and only if every component of $H$ is a star.

研究の動機と目的

• グラフクラスの基本的木幅を定義・分析し、それが強積の部分グラフとしてどれほど単純に表現できるかを測定する。
• 平面的およびマイナー自由グラフなどの主要なグラフクラスに対して、このような積における基本的なグラフの最小木幅を特定する。
• 除外された位相的部分グラフを用いて、有界な基本的木幅を持つ単調なグラフクラスを特徴付ける。
• 円形図形や弱い外 $k$-平面性といった構造的制約が、基本的木幅をどのように制限するかを調査する。
• 特に小さな定数を伴う場合に、さまざまなグラフクラスにおける木幅束縛関数のタイトな境界を確立する。

提案手法

• 基本的木幅を分析・特徴付けるための構造的道具として、『分離被覆』の概念を導入する。
• 分離被覆を用いて、グラフクラスが有界な基本的木幅を持つための必要十分条件（固定された位相的部分グラフを除外すること）を証明する。
• 強積構造定理を応用し、有界な木幅を持つグラフを、より低い木幅を持つグラフと固定サイズの完全グラフの積に埋め込む。
• 円形図形とエッジ交差制約を用いて、弱い外 $k$-平面的グラフを定義し、構造的境界を導出する。
• $k$-平面的および $k$-外平面的グラフの既知の木幅境界を活用し、木分割幅および基本的木幅に関する結果を導出する。
• 図形の平面化を用いて $k$-平面的グラフを位相的部分グラフと関連付け、積構造定理を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのグラフクラスが、有界幅の木幅を持つグラフと固定サイズの完全グラフの強積の部分グラフとして表現可能か？
• RQ2 平面的グラフクラスの最小基本的木幅は何か？また、これは小さな木幅束縛関数で達成可能か？
• RQ3 どのグラフ $H$ に対して、$H$-部分グラフを含まないグラフクラスまたは $H$-誘導部分グラフを含まないグラフクラスが有界な基本的木幅を持つのか？
• RQ4 固定された位相的部分グラフを除外することは、有界な基本的木幅を持つ単調なグラフクラスをどのように特徴付けるか？
• RQ5 弱い外 $k$-平面性やエッジあたりの交差数が有界であるといった構造的制約が、小さな定数を伴って有界な基本的木幅をもたらすか？

主な発見

• 平面的グラフクラスの基本的木幅は 3 であり、これはタイトな境界であり、木幅 $k$ のグラフに対して木幅束縛関数が $O(k^2)$ である。
• $K_{s,t}$-minor-free グラフ（$t eq 3$ かつ $t eq 4$ の場合）の基本的木幅は $s$ であり、$K_t$-minor-free グラフの基本的木幅は $t-2$ である。
• 単調なグラフクラスが有界な基本的木幅を持つための必要十分条件は、ある固定された位相的部分グラフを除外することであり、これにより完全な構造的特徴付けが得られる。
• 外 $k$-平面的グラフクラスの基本的木幅は 2 であり、定数の木幅束縛関数を持つ。これは、既知の外平面的グラフの木幅 2 の性質を一般化する。
• 半径 $r$ の $k$-平面的グラフに対して、基本的木幅は $O((rk)^9)$ で有界であり、これは平面化と積構造定理を用いて導出される。
• $H$-部分グラフを含まないグラフクラスが有界な基本的木幅を持つための必要十分条件は、$H$ の各成分がスケールされたスターモデルであることであり、$H$-誘導部分グラフを含まないクラスが有界な基本的木幅を持つための必要十分条件は、$H$ の各成分がスターモデルであることである。