[論文レビュー] Products in Generalized Differential Cohomology

Markus Upmeier|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、有理的偶数性を満たし、乗法的な一般化コホモロジー理論 $E$ に対して、ホップン＝シングルの微分コホモロジー拡張 $\hat{E}$ が単位的で、階数付き可換な積構造を持つことを確立する。この構成は、統合写像の精錬と、ペアに対する微分コホモロジー理論の開発に依拠しており、チャーン写像および微分形式と整合的である。これにより、有理的偶数性によって、以前の構成における一意でない性質が解消される。

ABSTRACT

In this paper it is shown that multiplicative cohomology theories that are rationally even -- a technical condition that is often satisfied -- the Hopkins-Singer construction of generalized differential cohomology has a unital, graded commutative multiplicative structure. To this end, an explicit integration and a differential cohomology theory for pairs are also developed.

研究の動機と目的

• 有理的偶数コホモロジー理論に対して、一般化された微分コホモロジー $\hat{E}$ に乗法的構造を構成すること。
• 有理的偶数理論に制限することによって、微分還元における一意でない性質を解消すること。
• 期待される完全系列をもつペア $\hat{E}^*(M,N)$ に対する微分コホモロジー理論を構築すること。
• 積が統合写像 $\int_{S^1}$ と整合的であることを保証し、函手性と階数付き可換性を維持すること。
• チャーン写像を引き上げ、幾何的およびコホモロジカルなデータを尊重する、標準的で乗法的な $E$ の還元を提供すること。

提案手法

• 統合写像 $\int_{S^1}: \hat{E}^{*+1}(S^1 \times M) \to \hat{E}^*(M)$ を精錬し、$I$、$R$、$a$ と整合的であるようにすること。
• 相対的データを用いてペア $\hat{E}^*(M,N)$ の微分コホモロジーを定義し、長完全系列を導出すること。
• 明示的代表元 $(c, \omega, h)$ とチェーンレベルのホモトピーを用いて積 $\hat{x} \cup \hat{y}$ を構成すること。
• アサイクロニックモデルの定理を用いて、反復統合と積構造のチェーンホモトピー同値性を示すこと。
• 有理的偶数性を活用して、基本的コサイクルの選択におけるあいまいさを排除し、標準的積構造を保証すること。
• 階数付き可換性と反復統合の恒等式を用いた次数ごとのケース解析により、積が統合と整合的であることを検証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理的偶数性を満たすコホモロジー理論に対して、ホップン＝シングルの微分コホモロジー $\hat{E}$ に標準的乗法的構造を定義できるか？
• RQ2 微分コホモロジーにおける積と可換になるように、統合写像をどのように精錬できるか？
• RQ3 ペア $\hat{E}^*(M,N)$ に対する微分コホモロジーの正しい定式化は何か？ そして、それは長完全系列を導くか？
• RQ4 $\hat{E}$ 上の積が $S^1$-統合写像 $\int_{S^1}$ と可換であるか？ また、次数の偶奇にかかわらず、その整合性はどのように検証されるか？
• RQ5 以前の微分還元における非標準的選択は、有理的偶数性によって解消可能か？

主な発見

• 任意の有理的偶数性を満たし、乗法的なコホモロジー理論 $E$ に対して、微分コホモロジー $\hat{E}^*$ 上に単位的で階数付き可換な積構造が存在し、以前の非一意性が解消される。
• $\hat{E}^*$ 上の積構造は $S^1$-統合写像と整合的であり、すべての次数の偶奇において $\int_{S^1}(\hat{x} \times \hat{y}) = \left(\int_{S^1}\hat{x}\right) \times \hat{y}$ を満たす。
• ペア $\hat{E}^*(M,N)$ に対する微分コホモロジー理論が構成され、$\hat{E}^*_{\text{flat}}(N)$、$\hat{E}^*(M,N)$、$\hat{E}^*(M)$、$\hat{E}^*(N)$ を含む自然な長完全系列が得られる。
• 反復統合とチェーンホモトピーの議論を用いたケースバイケースの検証により、積が結合的かつ階数付き可換であることが示される。
• 有理的偶数性の使用により、異なる基本的コサイクルの選択が同型な積構造をもたらし、標準的微分コホモロジー理論が得られる。
• この構成は、チャーン写像、曲率写像 $R$、特徴的類写像 $I$ と整合的であり、[BS10] の意味での一貫した微分拡張を形成する。