[論文レビュー] Products of matrices $[ \begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}]$ and $[ \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix} ]$ and the distribution of reduced quadratic irrationals

Florin P. Boca|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2005

Analytic Number Theory Research参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、行列 A = [[1,1],[0,1]] と B = [[1,0],[1,1]] によって生成される行列積の個数について、トレース ≤ N の場合の漸近公式を確立し、N → ∞ のとき Ψ(N) = c₁N²log N + c₂N² + Oε(N⁷/⁴⁺ε) を証明する。この結果は、Faivreの減少二次無理数の分布における誤差項の上限を改善し、明示的な O(N⁷/⁴⁺ε) 誤差項を提示する。WeilのKloosterman和に関する評価とMellin変換技法を用いて、Dirichlet級数を ℜ(s) > 7/4 に解析接続し、s = 2 に二重極をもつことを示す。

ABSTRACT

Let $\Phi(N)$ denote the number of products of matrices $[ \begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}]$ and $[ \begin{smallmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix} ]$ of trace equal to $N$, and $\Psi(N)=\sum_{n=3}^N \Phi(n)$ be the number of such products of trace between $3$ and $N$. We prove an asymptotic formula of type $\Psi(N) = c_1 N^2 \log N +c_2 N^2 + O_\varepsilon (N^{7/4+\varepsilon})$ as $N o \infty$. As a result, the Dirichlet series $\sum_{n=1}^\infty \Phi(n) n^{-s}$ has a meromorphic extension in the half-plane $\Re (s)>7/4$ with a single, order two pole at $s=2$. Our estimate also improves on an asymptotic result of Faivre concerning the distribution of reduced quadratic irrationals, providing an explicit upper bound for the error term.

研究の動機と目的

• 有界長さの減少二次無理数の個数に関するFaivreの漸近的推定値における誤差項の改善。
• A = [[1,1],[0,1]] と B = [[1,0],[1,1]] によって生成されるトレース ≤ N の行列積の個数に対する明示的な誤差項の導出。
• 関連するDirichlet級数の ℜ(s) > 7/4 への有理型関数への拡張を確立し、s = 2 に二重極をもつことの証明。
• 以前の推定式 Ψ(N) = N²log N / ζ(2) + O(N²log log N) における O(N²log log N) 誤差項の改善。

提案手法

• Kloosterman和に関するWeilの評価を用いて、指定された範囲内での xy ≡ 1 (mod q) の解の個数を推定する。
• 数え上げ関数 Ψ(N) にMellin変換を適用し、Dirichlet級数 Z(s) = ∑_{n≥3} Φ(n)n⁻ˢ の解析を試みる。
• Ψ(N) を偶数長と奇数長の行列語の寄与に分解し、主項にあたる Ψₑᵥ(N) に注目する。
• 格子点数え上げと指標和の推定を用いて、Ψₑᵥ(N) = N²log 2 / (2ζ(2)) + Oε(N⁷/⁴⁺ε) を証明する。
• 行列積が B で始まり A で終わるものと減少二次無理数との明示的対応関係を用い、行列数え上げ問題と二次無理数の分布とを結びつける。
• IkeharaのTauber定理とGauss写像を用いたFredholm理論を応用し、減少二次無理数の個数に関する最終的な漸近的評価を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A と B によって生成されるトレース ≤ N の行列積の個数に関する最良の誤差項は何か？
• RQ2 Kloosterman和に関するWeilの評価をどのように用いることで、減少二次無理数の分布における誤差推定値を改善できるか？
• RQ3 トレース数え上げ関数 Φ(N) に関連するDirichlet級数の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ4 Faivreの減少二次無理数の個数に関する漸近的推定値における誤差項を明示的にできるか？
• RQ5 A と B の行列積と、減少二次無理数の連分数展開との関係は何か？

主な発見

• トレースが 3 から N の間の行列積の個数は、N → ∞ のとき Ψ(N) = c₁N²log N + c₂N² + Oε(N⁷/⁴⁺ε) を満たし、c₁ = 1/ζ(2) かつ c₂ = (1/ζ(2))(γ − 3/2 − ζ′(2)/ζ(2)) である。
• Dirichlet級数 ∑_{n≥3} Φ(n)n⁻ˢ は、半平面 ℜ(s) > 7/4 に有理型関数として拡張可能であり、s = 2 に二重極をもつ。
• B で始まり A で終わる偶数長の語からの寄与は、Ψₑᵥ(N) = N²log 2 / (2ζ(2)) + Oε(N⁷/⁴⁺ε) である。
• ρ(ω) < X を満たす減少二次無理数 ω の個数は、∑_{ρ(ω)<X} 1 = eˣ log 2 / (2ζ(2)) + Oε(e^(7/8 + ε)X) を満たし、Faivreの結果を明示的誤差項を含めて改善する。
• 和 ∑_{a<N} ϕ(a)(N−2a)²/(2a²) の誤差項は O(N) であり、数値的証拠からより改善可能である可能性がある。
• 減少二次無理数 ω に対して、行列積 fM(ω) のスペクトル半径は基本単数 ε₀(ω) に等しく、ρ(ω) = 2 log R(fM(ω)) が成り立つ。