[論文レビュー] Products of metric spaces, covering numbers, packing numbers and characterizations of ultrametric spaces

Oleksiy Dovgoshey, Олли Мартио|ArXiv.org|Mar 9, 2009

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 5被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、被覆数と被覆数に注目して、距離空間のカルテシアン積が非アーメトリック空間である条件を調査する。距離空間が、すべてのコンパクト集合およびすべての ε > 0 に対して被覆数と被覆数が等しいとき、かつそのときに限り、非アーメトリック空間であることが示され、部分距離を保つ距離関数と被覆数・被覆数に関する特定の不等式を満たす場合に、非アーメトリック空間の積が非アーメトリック性を保つ十分条件が提示される。

ABSTRACT

We describe some Cartesian products of metric spaces and find conditions under which products of ultrametric spaces are ultrametric.

研究の動機と目的

• 被覆数と被覆数の等価性による非アーメトリック空間の特徴付け。
• 距離空間の積が非アーメトリック性をどのように継承するかの調査。
• 被覆数と被覆数を超限基数に一般化し、分析を強化すること。
• 部分距離を保つ距離関数のもとで、非アーメトリック空間の積が非アーメトリック性を保つための十分条件の確立。
• 非アーメトリック性の構造を決定づける「中間性指数」t₀ の役割の明確化。

提案手法

• 距離空間内のすべての三重組 x,y,z に対して s(x,y,z) を、(d(x,y))^s = (d(x,z))^s + (d(z,y))^s を満たす s の解とし、厳密な三角不等式が成り立つ場合に限って、t₀(d) を s(x,y,z) の下界として定義する。
• 被覆数と被覆数の超限一般化をそれぞれ \hat{\mathcal{N}}_ε^A(W) および \hat{\mathcal{M}}_ε(W) として定義し、有限集合を超えた分析を可能にする。
• 精密化された不等式：\mathcal{M}^{*}_{2^{1/t₀}ε}(W) ≤ \hat{\mathcal{N}}_ε^X(W) ≤ \hat{\mathcal{N}}_ε(W) ≤ \hat{\mathcal{M}}_ε(W) ≤ \mathcal{M}^{*}_ε(W) を確立し、中間性指数と被覆数・被覆数の挙動との関連を明示する。
• X × Y 上の部分距離を保つ距離関数 d を導入し、d ≥ d_∞ かつ d_X と d_Y のみに依存するように定義する。
• コンパクト集合 W ⊆ X, Z ⊆ Y に対して \mathcal{N}_ε(W × Z) = \mathcal{N}_ε(W) · \mathcal{N}_ε(Z) が成り立つことを利用して、積空間の非アーメトリック性の条件を導出する。
• 定理2.9（距離空間が非アーメトリックであるための必要十分条件は、すべてのコンパクト集合 W とすべての ε > 0 に対して \mathcal{N}_ε(W) = \mathcal{M}_ε(W) が成り立つこと）を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの距離空間のカルテシアン積が非アーメトリック空間であるための条件は何か？
• RQ2 一般の距離空間において被覆数と被覆数はどのように関係し、その等価性は何を意味するか？
• RQ3 中間性指数 t₀ は非アーメトリック空間を特徴付けるために果たす役割は何か？
• RQ4 被覆数と被覆数の等価性を超限基数に拡張することは可能か？ その場合、距離構造にどのような意味を持つのか？
• RQ5 部分距離を保つ距離関数が積空間に非アーメトリック性を保つための条件は何か？

主な発見

• 距離空間が非アーメトリックであるための必要十分条件は、すべてのコンパクト集合 W とすべての ε > 0 に対して、被覆数 \mathcal{N}_ε(W) と被覆数 \mathcal{M}_ε(W) が等しいことである。
• 中間性指数 t₀ は、すべての三重組 x,y,z に対する s(x,y,z) の下界として定義され、t₀ = ∞ であることは、空間が非アーメトリックであることと同値である。
• 距離空間内の任意の閉球 B(a,r) に対して、直径は diam(B(a,r)) ≤ 2^{1/t₀} r を満たし、非アーメトリックの場合に等号が成り立つ。
• すべての ε > 0 とコンパクト集合 W に対して、精密化された不等式 \mathcal{M}^{*}_{2^{1/t₀}ε}(W) ≤ \hat{\mathcal{N}}_ε^X(W) ≤ \hat{\mathcal{N}}_ε(W) ≤ \hat{\mathcal{M}}_ε(W) ≤ \mathcal{M}^{*}_ε(W) が成り立つ。
• (X,d_X) と (Y,d_Y) が非アーメトリックで、X × Y 上の距離関数 d が d ≥ d_∞ を満たす部分距離を保つ関数であるとき、(X × Y,d) が非アーメトリックであるための必要十分条件は、すべてのコンパクト集合 W ⊆ X, Z ⊆ Y およびすべての ε > 0 に対して \mathcal{N}_ε(W × Z) = \mathcal{N}_ε(W) · \mathcal{N}_ε(Z) が成り立つことである。
• 対称性が成り立たない場合、与えられた条件下で積が非アーメトリックであるためには、d((x₁,y₁),(x₂,y₂)) = d((x₂,y₁),(x₁,y₂)) が成り立つことが必要である。