[論文レビュー] Products of normal, beta and gamma random variables: Stein characterisations and distributional theory

Robert E. Gaunt|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、独立したベータ、ガンマ、標準正規確率変数の積へスティーンの法を拡張し、混合積の明示的なスティーン作用素を導出する。密度関数および特徴関数の閉形式表現を、メイジャー G 関数を用いて得る。これは個々の分布に対する古典的スティーン作用素を一般化するものである。

ABSTRACT

In this paper, we extend Stein's method to products of independent beta, gamma, generalised gamma and mean zero normal random variables. In particular, we obtain Stein operators for mixed products of these distributions, which include the classical beta, gamma and normal Stein operators as special cases. These operators lead us to closed-form expressions involving the Meijer $G$-function for the probability density function and characteristic function of the mixed product of independent beta, gamma and central normal random variables.

研究の動機と目的

• 独立したベータ、ガンマ、標準正規確率変数の積を扱えるようにスティーンの法を拡張すること。
• ベータ、ガンマ、中心正規分布を含む混合積の明示的なスティーン作用素を導出すること。
• このような積の確率密度関数および特徴関数の閉形式表現を提供すること。
• ベータ、ガンマ、正規分布に対する古典的スティーン作用素が、導出された作用素の特別な場合として得られることを一般化すること。
• 特殊関数を用いて、これらの独立した確率変数の積の分布理論を確立すること。

提案手法

• 分布の性質と微分作用素を用いて、独立したベータ、ガンマ、標準正規確率変数の積のスティーン作用素を導出する。
• 特にメイジャー G 関数を用いた特殊関数の理論を適用し、積分布の確率密度関数を閉形式で表現する。
• メイジャー G 関数に基づく特徴関数表現を用いて、積の分布を特徴付ける。
• 古典的スティーン作用素が、導出された混合積作用素の特別な場合として現れることを確立する。
• 積分表現および変換技術を用いて、積分布を既知の特殊関数と結びつける。
• 単一分布の極限ケースにおいて既知の結果と整合することを示すことにより、フレームワークの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スティーンの法を、独立したベータ、ガンマ、標準正規確率変数の積へどのように拡張できるか？
• RQ2 これらの分布の混合積のスティーン作用素の明示的形は何か？
• RQ3 このような積の密度関数および特徴関数の閉形式表現を導出できるか？
• RQ4 ベータ、ガンマ、正規分布に対する古典的スティーン作用素は、一般化された作用素の特別な場合としてどのように現れるか？
• RQ5 メイジャー G 関数は、積の分布を特徴付ける際に果たす役割は何か？

主な発見

• 本論文は、独立したベータ、ガンマ、標準正規確率変数の混合積の明示的なスティーン作用素を導出する。
• 積分布の確率密度関数の閉形式表現が、メイジャー G 関数を用いて表現される。
• 積分布の特徴関数も、メイジャー G 関数を用いて表現される。
• ベータ、ガンマ、正規分布に対する古典的スティーン作用素が、一般化された作用素の特別な場合として回復される。
• 本フレームワークは、これらの3つの分布族を含む積の分布の特徴付けを統一的に扱うものである。
• メイジャー G 関数の使用により、積分布の密度関数および特徴関数の正確な解析的表現が可能になる。