[論文レビュー] Products of normal, beta and gamma random variables: Stein operators and distributional theory

Robert E. Gaunt|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2015

Random Matrices and Applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ベータ、ガンマ、一般化ガンマ、および平均ゼロの正規分布に従う独立した確率変数の積へ、スティーンの方法を拡張する。この研究では、これらの混合積に対して新しいスティーン作用素を導出し、確率密度関数および特性関数の閉形式表現をメイジャーG関数を用いて得る。これは、正規、ベータ、ガンマ分布に対する古典的スティーン作用素を特別な場合として統一するものである。

ABSTRACT

In this paper, we extend Stein's method to products of independent beta, gamma, generalised gamma and mean zero normal random variables. In particular, we obtain Stein operators for mixed products of these distributions, which include the classical beta, gamma and normal Stein operators as special cases. These operators lead us to closed-form expressions involving the Meijer $G$-function for the probability density function and characteristic function of the mixed product of independent beta, gamma and central normal random variables.

研究の動機と目的

• 正規分布を超えたスティーンの方法を、独立したベータ、ガンマ、一般化ガンマ、および平均ゼロの正規分布に従う確率変数の積へ拡張すること。
• これらの分布の混合積に対するスティーン作用素を導出し、個々の分布に対する古典的作用素を一般化すること。
• 特殊関数を用いて、このような積の確率密度関数および特性関数の閉形式表現を提供すること。
• 正規、ベータ、ガンマ分布に対する既存のスティーン作用素を、一つの枠組み内で統一・一般化すること。

提案手法

• 独立したベータ、ガンマ、一般化ガンマ、および平均ゼロの正規分布に従う確率変数の積に対する一般化されたスティーン作用素を導出する。
• メリン変換およびメイジャーG関数の性質を用いて、積分布の密度関数および特性関数を表現する。
• 独立したベータ、ガンマ、正規確率変数の積が、メイジャーG関数を用いて表現可能な分布に従うことを確立する。
• 既知の積分恒等式およびメイジャーG関数の漸近展開を用いて、導出された分布を分析する。
• 導出された作用素が、正規、ベータ、ガンマ分布に対する既存のスティーン作用素を特別な場合として含むことを示す。
• メイジャーG関数が満たす微分方程式を用いて、導出されたスティーン作用素の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スティーンの方法は、独立したベータ、ガンマ、一般化ガンマ、および平均ゼロの正規分布に従う確率変数の積を扱えるようにどのように拡張可能か？
• RQ2 これらの分布の混合積に対するスティーン作用素の形は何か？ また、個々の分布に対する古典的作用素をどのように一般化するか？
• RQ3 特殊関数を用いて、このような積の確率密度関数および特性関数の閉形式表現を導出可能か？
• RQ4 メイジャーG関数は、これらの積の分布を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 導出された作用素は、正規、ベータ、ガンマ分布に対する既知のスティーン作用素とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿では、独立したベータ、ガンマ、および平均ゼロの正規確率変数の積に対する新しいスティーン作用素を導出し、個々の分布に対する古典的作用素を一般化した。
• 積の確率密度関数は、メイジャーG関数を用いて閉形式で表現され、特に一般化超幾何関数として表現可能である。
• 積分布の特性関数についても、メイジャーG関数を用いた閉形式表現が示された。
• 独立した正規確率変数の積は、メイジャーG関数を用いて表現可能な分布に従い、特に変形ベッセル関数 $ K_0 $ を含む特別な場合が存在する。
• 導出された作用素は、単一成分の積に特化した場合、古典的スティーン作用素（正規、ベータ、ガンマ）に還元される。
• この枠組みにより、非同次微分方程式の解法を用いて確率的距離の上限を導出可能となり、スティーンの方法の適用範囲が積分布へ拡張された。