[論文レビュー] Products of residue currents of Cauchy-Fantappiè-Leray type

Elizabeth Wulcan|ArXiv.org|Dec 2, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複素幾何におけるコーシー＝ファンタッピエ＝レレイ型の公式を通じて構成された残差形式の積構造を導入する。完全交差の場合、個々の切断に関連する残差形式の積がそれらの直和に付随する残差形式に一致することを証明する。これは古典的な双対性結果を一般化するが、真の交差の場合にはこの等式が成立しないことから、このような積の性質における重要な相違が明らかになる。

ABSTRACT

With a given holomorphic section of a Hermitian vector bundle, one can associate a residue current by means of Cauchy-Fantappiè-Leray type formulas. In this paper we define products of such residue currents. We prove that, in the case of a complete intersection, the product of the residue currents of a tuple of sections coincides with the residue current of the direct sum of the sections.

研究の動機と目的

• コーシー＝ファンタッピエ＝レレイ型の公式を通じて構成された残差形式の意味のある積を定義すること。
• 切断の組に対応する残差形式の積が、それらの直和に付随する残差形式と一致するかどうかを調査すること。
• このような積が適切に定義され、幾何的に意味を持つ条件を明確にすること。
• 真の交差の場合におけるこの積の恒等式の不成立を分析し、完全交差の場合と対比すること。

提案手法

• λ→0 における |f|^{2λ}u^f の解析接続を通じて、コーシー＝ファンタッピエ＝レレイ型の形式を用いて残差形式を定義する。
• メリン変換と解析接続の技法を用い、分布の意味での極限として形式を定義する。
• 特異点の解消、特に吹き上げを用いて、非横断的または非完全交差的台を持つ形式を扱う。
• ∇_f = δ_f - ∂̄ 演算子に関連する二重複体構造を用いて、形式空間およびその外積積を定義する。
• 吹き上げ後の局所座標における明示的計算を通じて、特定の例において R^f ∧ R^g と R^{f⊕g} を比較する。
• ∫∂̄[1/z^p]ψ(z)dz = (2πi)/(p−1)! ∂^{p−1}ψ(0)/∂z^{p−1} などの既知の残差積分の恒等式を用いて、異なるチャートからの寄与を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コーシー＝ファンタッピエ＝レレイ型の公式を通じて構成された残差形式の積が、どのような条件下で適切に定義されるか。
• RQ2 切断の組に対応する残差形式の積が、それらの直和に付随する残差形式と一致するか。
• RQ3 真の交差の場合、積構造は完全交差の場合とはどのように異なるか。
• RQ4 特異点の解消は、非横断的台を持つ形式の積を計算する際に果たす役割は何か。
• RQ5 真の交差の場合における積の恒等式の不成立は、明示的に計算・特徴づけられるか。

主な発見

• 完全交差の場合、R^f₁ ∧ … ∧ R^fₘ が切断 f⊕g に付随する残差形式 R^{f⊕g} に一致する。
• 真の交差の場合、例えば ℂ³ における f = (z₁, z₂) と g = (z₂, z₃) の例では、R^f ∧ R^g は R^{f⊕g} に等しくない。
• z₃軸の吹き上げ後の明示的計算により、R^f ∧ R^g は3つの異なる成分を持つのに対し、R^{f⊕g} は2つに限られることが示され、等式の不成立が確認される。
• 成分の差異は、吹き上げチャート Ω₁ と Ω₂ における寄与の違いに起因し、最終式には 2/3 や 1/3 などの係数が現れる。
• この結果により、恒等式 R^f ∧ R^g = R^{f⊕g} が完全交差の設定を超えて一般化されないことが確認される。
• 本稿は、零点集合が完全交差でない場合、一般に残差形式の積が直和に付随する残差形式に等しくないことを示す反例を提供する。