[論文レビュー] Produits dans la cohomologie des variétés arithmétiques : quelques calculs sur les séries thêta

Nicolas Bergeron|ArXiv.org|Dec 15, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、直交群およびユニタリ群に関連する算術的多様体上のtheta級数から生じるコhomology類のカップ積を研究する。一般化されたtheta上昇構成とヘッケ可換なコhomological技法を用いて、これらのtheta類およびその複素共役の任意のカップ積が、有限被覆の下で「ほとんど消えない」ことを証明し、これらの群におけるコhomological Langlandsプログラムの主要予想を確認する。

ABSTRACT

For abelian varieties $A$, in the most interesting cohomology theories $H^* (A)$ is the exterior algebra of $H^1(A)$. In this paper we study a weak generalization of this in the case of arithmetic manifolds associated to orthogonal or unitary groups. In this latter case recall that arithmetic manifolds associated to standard unitary groups $U(p,q)$ ($p\geq q$) over a totally real numberfield have vanishing cohomology in degree $i=1, ..., q-1$ and that, following earlier works of Kazhdan and Shimura, Borel and Wallach constructed in \cite{BorelWallach} non zero degree $q$ cohomology classes. These cohomology classes arise as theta series. After generalizing the construction of these theta series. We prove that arbitrary (up to the obvious obstructions) cup-products of these theta series and their complex conjugates virtually non vanish, i.e. ``up to Hecke translate'', in the cohomology ring.

研究の動機と目的

• アーベル多様体のコhomologyがH^1上の外積代数であるという古典的結果を、O(p,q)およびU(p,q)の算術的商の対称空間に関連する算術的多様体へ拡張すること。
• O(p,q)およびU(p,q)の対称空間の算術的商の文脈におけるコhomology環の構造を研究すること。
• theta級数から生じるコhomology類のカップ積が、弱めた「仮想的」意味で非ゼロであるかどうかを調査すること。
• Bergeron (2006)が提示した、算術的局所的に対称空間のコhomologyにおけるカップ積の非消滅に関する予想的図式を確認すること。
• 絶対的非消滅ではなく、ヘッケ作用素による翻訳を通じて非自明なカップ積の存在を確立すること。

提案手法

• Weil表現およびtheta上昇を用いて、theta級数をコhomology類として一般化する構成を拡張する。
• メタプレクティックtheta上昇を用いて、双対な半単純対の上での自動形式から、次数qのコhomology類を構成する。
• Borel–Wallachの非ゼロコhomology類の構成法を用い、theta級数により次数qの非ゼロコhomology類を構成する。
• theta上昇のヘッケ可換性を用いて、有限被覆の下でのカップ積を分析する。
• Siegel–Weil公式およびWeil–Séquin公式を用い、theta上昇をEisenstein級数およびコhomological不変量と関連付ける。
• 自動形式の理論およびコhomological誘導の理論を用いて、カップ積の仮想的非消滅を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 U(p,q)またはO(p,q)に関連する算術的多様体上のtheta級数から生じるコhomology類のカップ積が非ゼロであることを示せるか？
• RQ2 theta級数による構成されたコhomology類が、非自明な環構造を生成する範囲はどの程度か？
• RQ3 このようなtheta類のカップ積が、ヘッケ翻訳の下で仮想的非消滅性を示すか？
• RQ4 算術的商のコhomology環構造は、アーベル多様体のコhomologyとどのように関係するか？
• RQ5 この設定において、シムーラ多様体のコhomologyにおけるカップ積の非消滅に関する予想的図式を確認できるか？

主な発見

• 任意の2つのtheta級数コhomology類（およびその複素共役）のカップ積は、有限ヘッケ作用素による翻訳の下で、仮想的に非ゼロである。すなわち、ある有限被覆の下で非ゼロになる。
• 非ゼロ性は、関連するEisenstein級数 $ E(g', 1/2, f) $ の非ゼロ性によって確立され、これは $ g' $ の関数として非ゼロであることが示された。
• theta上昇構成により、次数 $ q $ における非ゼロコhomology類が得られ、BorelおよびWallachの先行結果を一般化する。
• カップ積の仮想的非消滅性は、ヘッケ作用素によるカップ積の関手的性質およびtheta上昇のヘッケ可換性を用いて証明された。
• すべての $ g' $ に対してコhomology類 $ [ heta(g', heta)] $ が非ゼロであることが示され、これは $ H^*(Sh^0G) $ の極限における関連コhomology類の非ゼロ性を意味する。
• この結果は、Bergeron (2006)が提示した算術的局所的に対称空間のコhomology環構造に関する主要予想を確認し、特にコhomological Langlandsプログラムの文脈において重要である。