[論文レビュー] Profinite complexes of curves, their automorphisms and anabelian properties of moduli stacks of curves

Marco Boggi, Pierre Lochak|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有限で連結なエタール被覆が、部分-$p$--adic 領域上の安定曲線のマーク付きのデリーニュ＝ムーディー moduli スタックの上に存在するとき、それが『ほぼアーベリアン』であることを確立する。この被覆の幾何的自己同型群と、その幾何的基本群の $G_k$-不変かつ境界を保存する外部自己同型群との間に自然な同型が存在することを証明し、モチヅーキのアーベリアン結果を曲線の moduli スタックへと拡張する。

ABSTRACT

Let ${\cal M}_{g,[n]}$, for $2g-2+n>0$, be the D-M moduli stack of smooth curves of genus $g$ labeled by $n$ unordered distinct points. The main result of the paper is that a finite, connected étale cover ${\cal M}^ł$ of ${\cal M}_{g,[n]}$, defined over a sub-$p$-adic field $k$, is "almost" anabelian in the sense conjectured by Grothendieck for curves and their moduli spaces. The precise result is the following. Let $π_1({\cal M}^ł_{\ol{k}})$ be the geometric algebraic fundamental group of ${\cal M}^ł$ and let ${Out}^*(π_1({\cal M}^ł_{\ol{k}}))$ be the group of its exterior automorphisms which preserve the conjugacy classes of elements corresponding to simple loops around the Deligne-Mumford boundary of ${\cal M}^ł$ (this is the "$\ast$-condition" motivating the "almost" above). Let us denote by ${Out}^*_{G_k}(π_1({\cal M}^ł_{\ol{k}}))$ the subgroup consisting of elements which commute with the natural action of the absolute Galois group $G_k$ of $k$. Let us assume, moreover, that the generic point of the D-M stack ${\cal M}^ł$ has a trivial automorphisms group. Then, there is a natural isomorphism: $${Aut}_k({\cal M}^ł)\cong{Out}^*_{G_k}(π_1({\cal M}^ł_{\ol{k}})).$$ This partially extends to moduli spaces of curves the anabelian properties proved by Mochizuki for hyperbolic curves over sub-$p$-adic fields.

研究の動機と目的

• 双曲的曲線に対するモチヅーキのアーベリアン結果を、マーク付きの曲線の moduli スタックへと拡張すること。
• 有限エタール被覆の幾何的基本群が、その被覆の自己同型群をどの程度決定するかを調査すること。
• 被覆の自己同型群と、その幾何的基本群の $G_k$-不変かつ境界を保存する外部自己同型群との間の明確な関係を確立すること。
• 特定の底体および一般点の条件下で、グローテンディークのアーベリアン予想を、曲線の moduli スタックという新しい幾何的文脈で検証すること。

提案手法

• 部分-$p$-adics 領域 $k$ 上で定義されたデリーニュ＝ムーディー moduli スタック $\mathcal{M}_{g,[n]}$ の有限で連結なエタール被覆 $\mathcal{M}^ł$ を考察する。
• 幾何的代数的基本群 $\pi_1(\mathcal{M}^ł_{\overline{k}})$ と、その単純ループの共轭類を保存する外部自己同型群 $\mathrm{Out}^*(\pi_1(\mathcal{M}^ł_{\overline{k}}))$ を分析する。
• $G_k$ の作用と可換な自己同型の部分群 $\mathrm{Out}^*_{G_k}(\pi_1(\mathcal{M}^ł_{\overline{k}}))$ に制限する。
• 被覆が幾何的に剛体であることを保証するために、$\mathcal{M}^ł$ の一般点の自己同型群が自明であると仮定する。
• 基本群からの群論的再構成を用いて、自然な同型 $\mathrm{Aut}_k(\mathcal{M}^ł) \cong \mathrm{Out}^*_{G_k}(\pi_1(\mathcal{M}^ł_{\overline{k}}))$ を確立する。
• $\ast$-条件を用いて、自己同型が境界構造を尊重することを保証し、算術的データから幾何を再構成するというアーベリアン哲学に整合させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限エタール被覆 $\mathcal{M}_{g,[n]}$ の自己同型群は、その幾何的基本群からどの程度再構成可能か？
• RQ2 $G_k$-不変かつ境界を保存する基本群の外部自己同型群は、部分-$p$-adics 領域上での被覆の自己同型群を完全に捉えられるか？
• RQ3 一般点の自己同型群が自明であるという仮定は、moduli スタックのアーベリアン再構成にどのように影響を与えるか？
• RQ4 モチヅーキの双曲的曲線に対するアーベリアン技法は、マーク付きおよび境界構造を有する moduli スタック設定に適応可能か？
• RQ5 デリーニュ＝ムーディー境界は、曲線の moduli スタックのアーベリアン再構成においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 幾何的自己同型群 $\mathrm{Aut}_k(\mathcal{M}^ł)$ と、幾何的基本群の $G_k$-不変かつ境界を保存する外部自己同型群 $\mathrm{Out}^*_{G_k}(\pi_1(\mathcal{M}^ł_{\overline{k}}))$ の間に自然な同型が存在する。
• $\ast$-条件により、自己同型がデリーニュ＝ムーディー境界の位相的構造を尊重することが保証され、再構成が幾何的に意味を持つために不可欠である。
• この結果により、グローテンディークの意味での『ほぼアーベリアン』性が確認され、すなわち、その幾何は主に算術的基盤群によって決定されることを示している。
• 同型は、$\mathcal{M}^ł$ の一般点の自己同型群が自明であるという条件下で成り立つ。これは、再構成を妨げる余分な対称性がないことを保証する。
• この手法により、モチヅーキのアーベリアン結果が個々の双曲的曲線から、曲線の moduli スタックへと拡張され、アーベリアン幾何学の適用範囲が広がった。
• この結果は、基本群がガロア作用に不変な外部自己同型を通じて自己同型群を完全に符号化する高次元の moduli 空間における、アーベリアン幾何学の新たな例を提供する。