[論文レビュー] Profinite Groups with a Cyclotomic $p$-Orientation

Claudio Quadrelli, Thomas Weigel|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、絶対ガロア群のサイクロトミック特徴の一般化である、コhomologicalな条件であるサイクロトミック $p$-方向性を備えたプロ有限群を導入し、その性質を研究する。Bloch-Kato のプロ-$p$ 群がこのような方向性を持つ場合、強いティッツの代替定理を満たし、標準的なアーベル正規部分群をもつ半直積に分解されることを証明する。$p=2$ の場合でも、追加の制約のもとで既知の結果が拡張される。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime. A continuous representation $ heta\colon G o\mathrm{GL}_1(\mathbb{Z}_p)$ of a profinite group $G$ is called a cyclotomic $p$-orientation if for all open subgroups $U\subseteq G$ and for all $k,n\geq1$ the natural maps $H^k(U,\mathbb{Z}_p(k)/p^n) o H^k(U,\mathbb{Z}_p(k)/p)$ are surjective. Here $\mathbb{Z}_p(k)$ denotes the $\mathbb{Z}_p$-module of rank 1 with $U$-action induced by $ heta\vert_U^k$. By the Rost-Voevodsky theorem, the cyclotomic character of the absolute Galois group $G_{\mathbb{K}}$ of a field $\mathbb{K}$ is, indeed, a cyclotomic $p$-orientation of $G_{\mathbb{K}}$. We study profinite groups with a cyclotomic $p$-orientation. In particular, we show that cyclotomicity is preserved by several operations on profinite groups, and that Bloch-Kato pro-$p$ groups with a cyclotomic $p$-orientation satisfy a strong form of Tits' alternative and decompose as semi-direct product over a canonical abelian closed normal subgroup.

研究の動機と目的

• . プロ有限群におけるサイクロトミック $p$-方向性の概念を導入し、その分析を行う。
• . 逆極限、自由積、およびファイバー積といった主要な群論的構成において、このような方向性が保存されることを確立する。
• . サイクロトミックに $p$-方向性を持つ Bloch-Kato のプロ-$p$ 群が、強い形のティッツの代替定理を満たすことを証明する。
• . これらの群の構造、特に半直積としての分解を調査する。
• . 結果を、最大のプロ-$p$ ガロア群に関する基本的タイプ予想に関連付ける。

提案手法

• . $p$-方向性を、連続な準同型 $\theta: G \to \mathbb{Z}_p^\times$ として定義し、ねじれた加群 $\mathbb{Z}_p(k)$ を導入する。
• . すべての開部分群 $U$ に対して、コホモロジー写像 $H^k(U, \mathbb{Z}_p(k)/p^n) \to H^k(U, \mathbb{Z}_p(k)/p)$ の全射性によって、$k$-サイクロトミック性の概念を導入する。
• . Rost-Voevodsky 定理を用いて、体の絶対ガロア群がサイクロトミックに $p$-方向性を持つことを示す。
• . 連続なコチェーンコホモロジーと $p$-完全群の性質を用いて、$\theta$-中心と核の構造を分析する。
• . 仮想プロ-$p$ 群の理論と補完を用い、コホモロジー的有限性条件の下で分解定理を証明する。
• . $\theta$-中心 $Z_\theta(G)$ の構造と短完全列 $1 \to Z_\theta(G) \to G \to \bar{G} \to 1$ におけるその役割を用いて、分解結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . プロ有限群にサイクロトミック $p$-方向性が与えられると、ティッツの代替定理の強い形（非アーベルな自由プロ-$p$ 群を含むか、または $\theta$-アーベルであるかのいずれか）が成り立つか？
• RQ2 . サイクロトミックに $p$-方向性を持つ Bloch-Kato のプロ-$p$ 群に対して、短完全列 $1 \to Z\_\theta(G) \to G \to \bar{G} \to 1$ がどのような条件下で分解するか？
• RQ3 . サイクロトミックに $p$-方向性を持つ Bloch-Kato のプロ-$p$ 群のクラスは、逆極限、自由積、および $\theta$-アーベル群が分解するファイバー積に関して閉じているか？
• RQ4 . 最大のプロ-$p$ ガロア群に関する基本的タイプ予想は、サイクロトミックに $p$-方向性を持つ Bloch-Kato のプロ-$p$ 群の構造から導かれるか？
• RQ5 . $p=2$ の場合、強いティッツの代替定理が成り立つために、追加の仮定 $\operatorname{im}(\theta) \subseteq 1 + 4\mathbb{Z}_2$ が必要か？

主な発見

• . サイクロトミックに $p$-方向性を持つ Bloch-Kato のプロ-$p$ 群は、強い形のティッツの代替定理を満たす：非アーベルな閉じた自由プロ-$p$ 群を含むか、または $\theta$-アーベルである。
• . $p=2$ の場合、追加の仮定 $\operatorname{im}(\theta) \subseteq 1 + 4\mathbb{Z}_2$ が成立する限り、強いティッツの代替定理が成り立つ。これは、反例によって必要であることが示された。
• . 群 $G$ がプロ-$p$、仮想的にプロ-$p$、または $\bar{G}$ がサイクロトミックに $p$-方向性を持ち Bloch-Kato である場合、かつ $\operatorname{cd}_p(G) < \infty$ ならば、短完全列 $1 \to Z_\theta(G) \to G \to \bar{G} \to 1$ は分解する。
• . サイクロトミックに $p$-方向性を持つ Bloch-Kato のプロ-$p$ 群のクラスは、全射な構造写像を伴う逆極限、自由積、$\theta$-アーベル群が分解するファイバー積、および $\ker(\theta)$ に含まれる $p$-完全な正規部分群による商に関して閉じている。
• . $\theta$-中心 $Z_\theta(G)$ は標準的なアーベル閉じた正規部分群であり、分解条件を満たすとき、$G$ は半直積 $G \simeq Z_\theta(G) \rtimes \operatorname{im}(\theta)$ に分解される。
• . すべての有限生成かつねじれのないサイクロトミックに $p$-方向性を持つ Bloch-Kato のプロ-$p$ 群は、拡張された意味で基本的タイプであるという予想は未解決のままであるが、Efrat の基本的タイプ予想よりも強い。