[論文レビュー] Programs as polygraphs: computability and complexity

Guillaume Bonfante, Yves Guiraud|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2007

Logic, programming, and type systems参考文献 17被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、複数の出力をもつ一階関数型プログラムの代数的・図式的モデルとしてポリグラフを導入し、それがチューリング完全な計算モデルを形成することを証明している。ポリグラフに多項式解釈と終了順序を導入することで、計算が多項式サイズに有界である「シンプルなプログラム」を定義し、その計算が正確に多項式時間で計算可能な関数を特徴づける。

ABSTRACT

Abstract – This study presents Albert Burroni’s polygraphs as an algebraic and graphical description of first-order functional programs, where functions can have many outputs. We prove that polygraphic programs form a Turing-complete computational model. Using already-known termination orders for polygraphs, we define simple programs as a special class of polygraphs equipped with a notion of polynomial interpretation. We prove that computations in a simple program have a polynomial size and conclude that simple programs compute exactly polynomial-time functions. Keywords – Polygraph, program, computability, polynomial interpretation, termination, complexity. ACM – F.1.1, F.4.1, F.4.2, F.4.3. 1

研究の動機と目的

• 複数出力をサポートする一階関数型プログラムの代数的かつ図式的なフレームワークを提供すること。
• ポリグラフプログラムがチューリング完全であることを確立することで、その計算能力を裏付けること。
• 多項式解釈と終了順序を用いて、ポリグラフプログラムの部分クラス「シンプルなプログラム」を定義すること。
• シンプルなプログラムの計算複雑性を、計算トレースが多項式サイズに有界であることを証明することで特徴づけること。
• シンプルなプログラムが正確に多項式時間で計算可能な関数のクラスPに属する関数を計算することを示すこと。

提案手法

• 関数型プログラムを、1つの関数が複数の出力をもてるような代数的・図式的構造であるポリグラフとして表現すること。
• 既知のポリグラフ用の終了順序を用いて、整合的で有限な計算を保証すること。
• 計算ステップのサイズに上限を割り当てるために、ポリグラフに多項式解釈を導入すること。
• 終了と多項式サイズの計算トレースを保証する多項式解釈を備えたポリグラフとして「シンプルなプログラム」を定義すること。
• 終了順序技術を適用して、シンプルなプログラム内のすべての計算が多項式サイズに有界であることを証明すること。
• シンプルなプログラムの構造と多項式時間で計算可能な関数のクラスとの間の対応関係を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポリグラフは、複数出力をもつ一階関数型プログラムのための整合的で完全なモデルとして機能できるか？
• RQ2 ポリグラフプログラムのクラスはチューリング完全であるか。つまり、すべての計算可能な関数を表現可能か？
• RQ3 多項式解釈と終了順序を用いて、計算サイズが有界なポリグラフプログラムの部分クラスを定義可能か？
• RQ4 多項式解釈によって定義されたシンプルなプログラムは、正確にクラスPに属する関数を計算するか？
• RQ5 ポリグラフの代数的構造と複雑性クラスPとの間にはどのような関係があるか？

主な発見

• ポリグラフプログラムが、すべての計算可能な関数を表現可能なチューリング完全な計算モデルであることが示された。
• 多項式解釈と終了順序を備えた「シンプルなプログラム」として定義されたポリグラフプログラムは、計算が多項式サイズに有界である。
• シンプルなプログラムで計算可能な関数のクラスは、正確に多項式時間で計算可能な関数のクラスに一致する。
• 多項式解釈の使用により、シンプルなプログラム内のすべての計算が停止し、多項式サイズの範囲内に保たれることが保証された。
• このフレームワークは、ポリグラフを用いて複雑性クラスPの新しい代数的・図式的特徴づけを提供した。
• 結果として、代数的構造（ポリグラフ）と計算複雑性（P）の間の橋渡しを確立し、資源制限付き計算の新しい視点を提供した。