[論文レビュー] Progressive enlargement of filtrations and Backward SDEs with jumps

Idris Kharroubi, Thomas Lim|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、フィルトレーションの段階的拡大と、問題を等価なブラウン運動に基づくBSDEに分解することによって、ランダムなマーク付きジャンプを伴う後向きSDEの解の存在および一意性に関する結果を確立している。密度仮定の下で一般の存在定理を証明し、比較定理を用いて一意性結果を示しており、デフォルトリスクの文脈における二次BSDEに関する先行研究を拡張している。

ABSTRACT

This work deals with backward stochastic differential equation (BSDE) with random marked jumps, and their applications to default risk. We show that these BSDEs are linked with Brownian BSDEs through the decomposition of processes with respect to the progressive enlargement of filtrations. We show that the equations have solutions if the associated Brownian BSDEs have solutions. We also provide a uniqueness theorem for BSDEs with jumps by giving a comparison theorem based on the comparison for Brownian BSDEs. We give in particular some results for quadratic BDSEs. As applications, we study the pricing and the hedging of a European option in a complete market with a single jump, and the utility maximization problem in an incomplete market with a finite number of jumps.

研究の動機と目的

• デフォルトリスクモデリングにおけるランダムなマーク付きジャンプを伴う後向きSDEについて、一般の存在および一意性の結果が不足しているという問題に取り組む。
• ブラウン運動に基づくBSDE理論とジャンプ付きBSDEとの間のギャップを、フィルトレーションの段階的拡大を用いて埋める。
• 既存の二次BSDEに関する結果を、先行研究よりもより一般な存在条件を提供することによって拡張する。
• ブラウン運動に基づくBSDEの比較結果を応用して、ジャンプ付きBSDEの比較定理を確立する。
• 理論的枠組みを金融問題に応用する：単一ジャンプ市場におけるヨーロピアン・オプションの価格設定／ヘッジ戦略と、有限個のジャンプを伴う不完全市場におけるユーティリティ最大化問題。

提案手法

• デフォルト時刻とマークを、関連するマークを持つランダムな停止時刻としてモデル化するため、フィルトレーションの段階的拡大を用いる。
• Phamの分解定理を適用して、$G$-予測可能過程を$F$-予測可能成分と補正項に分解する。
• マーク付きジャンプを伴うBSDEを、ジャンプ時刻とマークでインデックス化されたブラウン運動に基づくBSDEの系に還元する。
• 強度測度の密度仮定の下で、分解されたブラウン運動に基づくBSDEを解くことによって存在性を確立する。
• 基礎となるブラウン運動に基づくBSDEの比較結果を活用して、ジャンプ付きBSDEの比較定理を導出する。
• 分解を用いて、生成関数が$z$-変数に関して凹関数である場合の、二次BSDEの解の一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムなマーク付きジャンプを伴う後向きSDEは、どのような条件下で解をもつのか？
• RQ2 ジャンプ付きBSDEの解は、どのようにブラウン運動に基づくBSDEへの分解によって構成できるか？
• RQ3 生成関数が$z$-変数に関して凹関数である場合に、二次BSDEの解の一意性を保証する条件は何か？
• RQ4 フィルトレーションの段階的拡大は、金融市場におけるデフォルトリスクの分析をどのように支援するか？
• RQ5 この分解フレームワークは、有限個のジャンプを伴う不完全市場におけるユーティリティ最大化問題に応用可能か？

主な発見

• 本論文は、ジャンプ時刻の強度測度に関する密度仮定の下で、ランダムなマーク付きジャンプを伴うBSDEの一般の存在結果を証明している。
• ブラウン運動に基づくBSDEの比較結果を応用することで、ジャンプ付きBSDEの比較定理を確立している。
• 生成関数が$z$-変数に関して凹関数である場合に、マーク付きジャンプを伴う二次BSDEについて、一意性の結果を得ている。
• ジャンプ付きBSDEの解は、可測性と可積分性を保証する、ブラウン運動に基づくBSDEの解の系列を用いて構成されている。
• このフレームワークは、単一ジャンプ市場におけるヨーロピアン・オプションの価格設定とヘッジ戦略に成功裏に適用され、明示的なヘッジ戦略が得られている。
• この手法は、有限個のマーク付きジャンプを伴う不完全市場における指数的ユーティリティ最大化問題に拡張され、実用的な解法を提供している。