[論文レビュー] Projected Dynamical Systems on Irregular, Non-Euclidean Domains for Nonlinear Optimization

Adrian Hauswirth, Saverio Bolognani+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2018

Advanced Differential Geometry Research被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Krasovskii解を用いた不規則で非ユークリッド的領域上の射影動的システムの一般化された枠組みを導入し、非凸で低正則性を示すリーマン多様体上での存在性と一意性を、新規のprox-regularity定義により確立する。弱い仮定のもとで射影勾配フローの安定性と収束性を証明し、これらの条件の必要性を示す反例も提示する。

ABSTRACT

Continuous-time projected dynamical systems are an elementary class of discontinuous dynamical systems with trajectories that remain in a feasible domain by means of projecting outward-pointing vector fields. They are essential when modeling physical saturation in control systems, constraints of motion, as well as studying projection-based numerical optimization algorithms. Motivated by the emerging application of feedback-based continuous-time optimization schemes that rely on the physical system to enforce nonlinear hard constraints, we study the fundamental properties of these dynamics on general locally-Euclidean sets. Among others, we propose the use of Krasovskii solutions, show their existence on nonconvex, irregular subsets of low-regularity Riemannian manifolds, and investigate how they relate to conventional Carath\\'eodory solutions. Furthermore, we establish conditions for uniqueness, thereby introducing a generalized definition of prox-regularity which is suitable for non-flat domains. Finally, we use these results to study the stability and convergence of projected gradient flows as an illustrative application of our framework. We provide simple counter-examples for our main results to illustrate the necessity of our already weak assumptions.

研究の動機と目的

• 凸的でユークリッド的でない領域に限らない、不規則で非ユークリッド的かつ非凸なリーマン多様体上での射影動的システム理論の拡張。
• 非正則性や非凸性を持つ領域では古典的Carathéodory解が失敗するのを回避するため、より頑健な代替手段としてKrasovskii解を導入すること。
• 平坦でない低正則性を持つ多様体に対し、prox-regularityの概念を一般化し、軌道の一意性を保証すること。
• このような領域における制約付き非線形最適化における射影勾配フローの安定性と収束性の条件を確立すること。
• 理論的枠組みにおける弱い仮定の必要性を示す反例を提供すること。

提案手法

• 不規則な領域上での不連続な射影動的システムに対して、Krasovskii解を主な解の概念として採用し、Carathéodory解が失敗する場合でも存在を保証する。
• 低正則性を持つリーマン多様体の部分集合に適した、一般化されたprox-regularityの定義を提示し、軌道の一意性を可能にする。
• リーマン幾何学を用いて接空間と法線空間を定義し、計量 $ g $ を用いてベクトル場を実行可能集合の接空間に射影する。
• 変分解析と微分包含の道具を用い、集合および集合値写像の外側極限と内側極限を分析して解の挙動を検討する。
• 連続的な計量のもとで法線空間写像の外側半連続性を活用し、解の存在性と正則性を証明する。
• 局所コンパクト領域上での解の存在に向け、キーポイントとしての可撫い条件 $ F(x) \bigcap T_x\tilde{X} \neq \emptyset $ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸的で不規則かつ非ユークリッド的領域上での射影動的システムに対して、Krasovskii解が存在する条件は何か？
• RQ2 prox-regularityはどのようにリーマン多様体に一般化され、射影動的システムにおける軌道の一意性を保証できるか？
• RQ3 滑らかでないまたは非凸な設定において、Krasovskii解と古典的Carathéodory解の関係は何か？
• RQ4 非ユークリッド空間における非直交射影は、射影システムのダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ5 不規則で非凸的、リーマン的制約集合上での射影勾配フローの安定性と収束性を保証する条件は何か？

主な発見

• Krasovskii解は、非凸的で不規則な低正則性リーマン多様体の部分集合上、Carathéodory解が存在しないか一意でない場合でも、射影動的システムに対して存在する。
• 平坦でない領域に適用可能な、一般化されたprox-regularityの定義が導入され、Krasovskii解の一意性を保証する。
• 計量 $ g $ の連続性のもとで、法線空間写像 $ N^g_x\tilde{X} $ の外側半連続性が確立され、これにより存在証明が支援される。
• 局所コンパクト領域上での解の存在に、可撫い条件 $ F(x) \bigcap T_x\tilde{X} \neq \emptyset $ は必要かつ十分である。
• 本フレームワークにより、電力システムや物理的制御システムに生じるような複雑で非線形的かつ非凸的な制約集合上での射影勾配フローの解析が可能になる。
• 提案された仮定（例えばClarke正則性や計量の連続性）が、主な存在性および一意性の結果に必要不可欠であることを示す反例が提示されている。