[論文レビュー] Projected Variational Integrators for Degenerate Lagrangian Systems

M. Kraus|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2017

Numerical methods for differential equations参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、誘導中心運動や点渦など、速度に関して線形なラグランジアンを持つ退化したラグランジュ系のための変分積分法の安定化のための射影法を提案し、分析する。対称的かつシンプレクティックな射影バージョンを導入し、長期間にわたる安定性とシンプレクティック性を保つ。後者は、ラグランジュ乗数が無限大に発散する場合に不安定になる可能性があるものの、計算効率に優れる。

ABSTRACT

We propose and compare several projection methods applied to variational integrators for degenerate Lagrangian systems, whose Lagrangian is of the form $L = \vartheta(q) \cdot \dot{q} - H(q)$ and thus linear in velocities. While previous methods for such systems only work reliably in the case of $\vartheta$ being a linear function of $q$, our methods are long-time stable also for systems where $\vartheta$ is a nonlinear function of $q$. We analyse the properties of the resulting algorithms, in particular with respect to the conservation of energy, momentum maps and symplecticity. In numerical experiments, we verify the favourable properties of the projected integrators and demonstrate their excellent long-time fidelity. In particular, we consider a two-dimensional Lotka-Volterra system, planar point vortices with position-dependent circulation and guiding centre dynamics.

研究の動機と目的

• ラグランジアンが速度に関して線形であるが、1-形式 ϑ(q) が非線形であるような退化ラグランジュ系において、変分積分法の不安定性を解消すること。
• 標準的、対称的、シンプレクティックな射影法が変分積分法のシンプレクティック性および長期間安定性に与える影響を分析すること。
• 一般化されたシンプレクティック構造を保存する修正された対称的射影法を考案し、特定の系において安定性を向上させること。
• エネルギーのずれ、収束性、およびポアンカレ積分不変量の保存性の観点から、異なる射影戦略の性能を比較すること。
• ラグランジュ乗数が無限大に発散する場合にシンプレクティック射影法が失敗する条件を同定し、今後の分析の方向性を示唆すること。

提案手法

• 離散ファイバー微分を用いて、離散オイラー＝ラグランジュ方程式を位置-運動量形式に変換し、1ステップの数値積分を可能にする。
• 連続的ファイバー微分 p = ϑ(q) を導入し、共役運動量を初期化する。これは線形 ϑ に対して正確だが、非線形 ϑ に対してはずれを生じる。
• 各ステップ後に、数値解を制約部分多様体 p = ϑ(q) 上に射影するために、標準的、対称的、シンプレクティックな射影法を適用する。
• 拡張された位相空間上で一般化されたシンプレクティック構造を保存する修正された対称的射影法を提案し、安定性を向上させる。
• シンプレクティック射影法は、積分ステップと射影ステップを独立して計算可能であるように設計されており、計算コストを低減する。
• 数値実験では、ガウス＝レジェンドルおよびガウス＝ロバットゥのルンゲ＝クッタ法を射影技術と組み合わせ、ロタ＝ヴォルテラ系、点渦系、誘導中心運動系を対象とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形 ϑ(q) を持つ退化ラグランジュ系において、線形 ϑ の場合に限らない範囲で、射影法が変分積分法を安定化できるか？
• RQ2 標準的、対称的、シンプレクティックな射影法は、得られる積分法のシンプレクティック性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 なぜシンプレクティック射影法は、ラグランジュ乗数が無限大に発散する場合に失敗するのか？ また、このような失敗を防ぐ条件は何か？
• RQ4 修正された対称的射影法は一般化された意味でシンプレクティック性を保存するのか？ また、実際の応用において、標準的対称的射影法と比べてどのように性能を発揮するか？
• RQ5 元の積分法の次数と、射影された解の安定性（特にエネルギーのずれの観点から）との関係は何か？

主な発見

• 対称的およびミッドポイント射影法が、すべてのテスト対象系において長期間安定性を保証する唯一の手法であり、対称的射影法は元の積分法の完全な次数を維持する。
• 標準的射影法は、制約違反が制御不能になるため、高次積分法において特にエネルギーのずれと最終的な不安定性を引き起こす。
• シンプレクティック射影法は、積分ステップと射影ステップを独立して計算できるため、対称的射影法よりも計算効率に優れる。
• 正確にシンプレクティックではないものの、対称的射影法は無視できるほどのシンプレクティック性誤差を示し、長期間安定性に悪影響を及げない。
• 修正された対称的射影法は一般化されたシンプレクティック構造を保存し、一部の系では良好な性能を発揮するが、ラグランジュ乗数が無限大に発散する場合には不安定化に繋がる。
• シンプレクティック射影法が安定する場合には、計算効率が対称的射影法を上回りつつ、同等の精度と安定性を維持する。