[論文レビュー] Projecting the Fokker-Planck Equation onto a finite dimensional exponential family

Damiano Brigo, Giovanni Pistone|ArXiv.org|Jan 9, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

この論文では、Fisher計量を用いてFokker-Planck方程式を有限次元の指数型族に投影し、投影された密度の時間発展が別のItô拡散の法則に対応することを示している。主な結果として、投影されたダイナミクスが拡散構造を保存することを示し、族の次元を増加させるに従って元の過程への収束を示す第一歩としてコンパクト性の結果を確立している。

ABSTRACT

In the present paper we discuss problems concerning evolutions of densities related to Ito diffusions in the framework of the statistical exponential manifold. We develop a rigorous approach to the problem, and we particularize it to the orthogonal projection of the evolution of the density of a diffusion process onto a finite dimensional exponential manifold. It has been shown by D. Brigo (1996) that the projected evolution can always be interpreted as the evolution of the density of a different diffusion process. We give also a compactness result when the dimension of the exponential family increases, as a first step towards a convergence result to be investigated in the future. The infinite dimensional exponential manifold structure introduced by G. Pistone and C. Sempi is used and some examples are given.

研究の動機と目的

• Fokker-Planck方程式を有限次元の指数族に投影するための厳密な幾何的枠組みを構築すること。
• 投影された密度の時間発展が、新たなItô拡散過程の法則に対応することを確立すること。
• 指数族の次元が増加する際の収束解析の基盤を提供するため、コンパクト性の結果を証明すること。
• PistoneとSempiの無限次元指数多様体構造と、フィルタリングにおける微分幾何的アプローチを統合すること。
• 指数族の次元が無限大に近づく際、投影された密度が真の密度に収束することを示すための土台を築くこと。

提案手法

• Banach空間に基づく、PistoneとSempiが導入した無限次元指数統計多様体構造を採用する。
• Fisher計量を用いて、拡散過程の密度のFokker-Planck時間発展を有限次元指数族に投影する。
• 密度を多様体上でパラメトライズするために、$C^{∞}$正則性を保証するチャートおよび座標写像 $s_p$ と $e_p$ を用いる。
• 直交射影を用いて投影されたFokker-Planck方程式を導出し、新たな拡散係数 $u_t^*$ を得る。この係数は修正された拡散を定義する。
• 新しい拡散係数を、十分統計量 $c$、Fisher情報 $g(\theta)$、および投影測度下での条件付き期待値の関数として表現する。
• 投影された密度時間発展が、修正された拡散係数を持つ確率微分方程式を満たすことを示し、拡散構造が保存されることを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fisher計量を用いて、拡散過程の密度のFokker-Planck時間発展を、有限次元の指数族に厳密に投影することは可能か？
• RQ2 投影された密度時間発展は、明確に定義された拡散係数と拡散係数を持つ、別のItô拡散過程の法則に対応するか？
• RQ3 指数族の次元が増加するに従って、投影されたダイナミクスが適切に定義され、滑らかに保たれるための条件は何か？
• RQ4 指数族の次元が無限大に近づく際、投影された密度が真の密度に収束することを証明することは可能か？
• RQ5 投影された拡散係数と拡散係数は、元の拡散過程の係数とどのように関係しているか？

主な発見

• 投影された密度時間発展が、修正された拡散係数 $u_t^*$ を持つ新たなItô拡散過程の法則と等価であることが示された。この係数は、十分統計量とFisher情報の関数として明示的に導出された。
• 投影された拡散の拡散係数は、元の拡散係数と拡散係数、スコア関数、および十分統計量を含む条件付き期待値積分を含む式で与えられる。
• 指数族の次元が増加するに従って、投影された密度の列に対してコンパクト性の結果が確立された。これは、収束解析への第一歩を提供する。
• 投影プロセスは拡散構造を保存する。つまり、投影された時間発展自体が拡散過程であることが保証され、一般の密度時間発展とは異なる。
• 適切な仮定の下で、族の次元 $m$ が増加するに従い、投影された拡散係数 $u_t^m$ は点wiseで元の拡散係数 $f_t$ に収束することが示唆され、法則の収束の可能性が示された。
• 無限次元指数多様体を用いた密度投影の幾何的解釈が提供され、チャートと座標系により $C^{∞}$ 正則性が保証された。