[論文レビュー] Projection-based nonparametric goodness-of-fit testing with functional covariates

Valentin Patilea, César Sánchez-Sellero+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2012

Statistical Methods and Inference参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、応答変数が実数値の誤差項である回帰モデルにおける関数的予測変数に対する、射影に基づく非パラメトリック適合度検定を提案する。関数的予測変数を $L^2[0,1]$ 内の最小有利な方向に射影することで、無限次元の問題を、条件付き平均がゼロである一変量のカーネルスムージングによる検定に簡略化し、帰無仮説の下で漸近的に標準正規分布に従う検定統計量を導出する。

ABSTRACT

This paper studies the problem of nonparametric testing for the effect of a random functional covariate on a real-valued error term. The covariate takes values in $L^2[0,1]$, the Hilbert space of the square-integrable real-valued functions on the unit interval. The error term could be directly observed as a response or \emph{estimated} from a functional parametric model, like for instance the functional linear regression. Our test is based on the remark that checking the no-effect of the functional covariate is equivalent to checking the nullity of the conditional expectation of the error term given a sufficiently rich set of projections of the covariate. Such projections could be on elements of norm 1 from finite-dimension subspaces of $L^2[0,1]$. Next, the idea is to search a finite-dimension element of norm 1 that is, in some sense, the least favorable for the null hypothesis. Finally, it remains to perform a nonparametric check of the nullity of the conditional expectation of the error term given the scalar product between the covariate and the selected least favorable direction. For such finite-dimension search and nonparametric check we use a kernel-based approach. As a result, our test statistic is a quadratic form based on univariate kernel smoothing and the asymptotic critical values are given by the standard normal law. The test is able to detect nonparametric alternatives, including the polynomial ones. The error term could present heteroscedasticity of unknown form. We do no require the law of the covariate $X$ to be known. The test could be implemented quite easily and performs well in simulations and real data applications. We illustrate the performance of our test for checking the functional linear regression model.

研究の動機と目的

• 関数的予測変数の実数値誤差項への影響に対する非パラメトリック適合度検定を開発すること。
• 一般の非パラメトリック代替仮説の下で、強固で実装可能な関数データの検定の欠如に対処すること。
• 予測変数の分布形や均一分散性の仮定を必要とせず、関数的線形モデルの検定を可能にすること。
• 固定および局所的代替仮説に対して一貫性を示し、一変量カーネルベースのパラメトリック検定と同等の速度で検出可能であること。
• シミュレーションおよび実データ応用で良好に動作する、実用的で容易に実装可能な検定を提供すること。

提案手法

• 無限次元の仮説 $\mathbb{E}(U|X) = 0$ a.s. を、適切に選ばれた $\|\gamma\| = 1$ を満たす $\gamma \in L^2[0,1]$ に対して $\mathbb{E}(U|\langle X, \gamma \rangle) = 0$ の帰無仮説への簡略化を行う。
• 代替仮説下での検定の感度を最大にする最小有利な方向 $\gamma$ を選択する。
• 標準的なカーネル密度推定および回帰手法を活用し、一変量カーネルスムージングを用いて条件付き期待値 $\mathbb{E}(U|\langle X, \gamma \rangle)$ を推定する。
• カーネル加重付き残差の積の二次形式として検定統計量を構築し、帰無仮説の下で漸近的に標準正規分布に従うことを保証する。
• 予測変数の分布を事前に知らなくても、弱い積分可能性および有界性の条件下で検定統計量の漸近的正規性を確立する。
• 観測誤差および関数的線形モデルからの推定残差に検定を適用し、異分散性および誤差分散の未知性に対応できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数的予測変数に対する非パラメトリック検定は、帰無仮説 $\mathbb{E}(U|X) = 0$ a.s. からの一般の逸脱を検出できるか？
• RQ2 射影技術を用いて、無限次元の検定問題を有限次元かつ取り扱いやすい形に簡略化できるか？
• RQ3 帰無仮説の下での検定統計量の漸近的分布は何か？ また、標準正規分布の分位数に基づく臨界値が使用可能か？
• RQ4 異分散誤差および予測変数の分布が未知の状況下で、検定はどのように動作するか？
• RQ5 多項式的およびその他の非パラメトリックな代替仮説は、一変量カーネルベースの検定と同等の速度で検出可能か？

主な発見

• 帰無仮説の下で検定統計量は漸近的に標準正規分布に従うため、標準正規分布の分位数に基づく臨界値が使用可能である。
• 任意の固定代替仮説および帰無仮説に近づく系列の代替仮説に対して一貫性を示し、一変量カーネルベースのモデルチェックと同等の速度で検出可能である。
• 予測変数 $X$ の分布を事前に知らなくても、検定は有効であり、誤差の異分散性に対しても有効である。
• シミュレーションおよび実データ応用において、特に関数的線形モデルの適合度チェックにおいて、良好な有限標本性能を示す。
• 推定された方向 $\widehat{b}$ が真の最小有利方向 $b$ に収束する速度は $o_{\mathbb{P}}(n^{-1/2})$ であり、推定の安定性が保証される。
• モデルの誤指定に対してもロバストであり、帰無仮説からの多項式的逸脱などの代替仮説を検出可能である。