[論文レビュー] Projection-based reduced order models for a cut finite element method in parametrized domains

Efthymios N. Karatzas, Francesco Ballarin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 83被引用数 35

ひとこと要約

本稿では、大規模な幾何的変化を伴う領域において再メッシュ化を伴わずにPDEの解を高精度で得ることを可能にする、CutFEMハイファイデリティ離散化と組み合わせた射影型低次元モデル（ROM）を提案する。自然な滑らかな拡張と解の搬送を用いることで、楕円型問題では相対誤差が10⁻⁴、ストークス問題では10⁻²にまで低下し、標準的な拡張手法のみに比べて基底の効率が著しく向上する。

ABSTRACT

This work presents a reduced order modelling technique built on a high fidelity embedded mesh finite element method. Such methods, and in particular the CutFEM method, are attractive in the generation of projection-based reduced order models thanks to their capabilities to seamlessly handle large deformations of parametrized domains. The combination of embedded methods and reduced order models allows us to obtain fast evaluation of parametrized problems, avoiding remeshing as well as the reference domain formulation, often used in the reduced order modelling for boundary fitted finite element formulations. The resulting novel methodology is presented on linear elliptic and Stokes problems, together with several test cases to assess its capability. The role of a proper extension and transport of embedded solutions to a common background is analyzed in detail.

研究の動機と目的

• 複雑または変化する幾何形状を伴うパラメータ付きPDEを解く際の高い計算コストの課題に対処すること。
• 幾何的変更に伴う再メッシュ化を必要とする従来の低次元モデルの限界を克服すること。
• 大規模な変形やトポロジーの変化を伴うパラメータ付き問題の効率的解法を可能にすること。
• ROMにおいてメッシュ再生成や変換マップの必要性を回避する手法を構築すること。
• 対流優勢型および境界支配型問題における低次元基底空間の近似品質を向上させること。

提案手法

• 埋め込まれた境界を有する複雑なパラメータ付き領域を扱うために、ハイファイデリティソルバーとしてCutFEMを用いる。
• CutFEMの解から得られるスナップショットに対して、適切な直交分解（POD）を適用する。
• 埋め込まれた解を共通のバックグラウンドメッシュ上に写像するために、自然な滑らかな拡張を適用する。
• バックグラウンドメッシュ上で解の搬送手順を実装し、コルモゴロフn-幅を低減し、基底収束を加速する。
• POD基底に上界関数を追加してinf-sup安定性を確保し、ガラーキン射影により低次元モデルを構築する。
• すべての操作にバックグラウンドメッシュを用いることで、オフライン・オンライン分離を実現し、ドメイン固有の写像を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再メッシュ化を伴わずに、大規模な幾何的パrametric変動を扱うために、CutFEMを射影型ROMと効果的に組み合わせられるか？
• RQ2 共通バックグラウンドメッシュ上での解の搬送は、自然な拡張のみに比べて、低次元基底の近似品質をどのように向上させるか？
• RQ3 弱く強制されたディリクレ境界条件は、境界層効果が顕著な状況下でROMの精度にどのような影響を及ぼすか？
• RQ4 拡張と搬送の組み合わせによって、コルモゴロフn-幅はどの程度低減され、低次元基底の収束はどのように改善されるか？
• RQ5 この手法は、最小限の基底サイズで楕円型問題およびストークス問題の両方において高い精度を達成できるか？

主な発見

• 自然な滑らかな拡張に加えて解の搬送を組み合わせることで、自然な拡張のみに比べて相対誤差がほぼ1桁低下し、ストークス問題においてもN = 3の基底関数で速度と圧力の誤差が10⁻²にまで低下する。
• 楕円型問題では、小さな低次元基底サイズであっても相対誤差が10⁻⁴のオーダーに達し、極めて高い効率性を示す。
• 自然な滑らかな拡張のみを用いる場合、N = 50であっても圧力で最大10⁻¹、速度で10⁻²の相対誤差が生じ、搬送なしでは近似品質が著しく劣化することが示された。
• ある基底サイズを超えると誤差低減が飽和する傾向を示しており、ニツチェ法によるディリクレ境界条件の弱い強制が原因で限界が生じている可能性がある。
• ハイファイデリティ解と低次元解の両方の速度場および圧力場に強く一致が見られ、特に圧力において埋め込まれた境界付近に誤差が局在化している。
• 提案手法は、基準ドメインへの写像や再メッシュ化の必要性を回避しており、大規模なパrametric変形を伴う問題の効率的解法を可能にする。