[論文レビュー] Projection evolution in quantum mechanics

A. Góźdź, M. Pietrow+1 more|ArXiv.org|Mar 13, 2003

Quantum Mechanics and Applications参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、時間をパrameterではなく動的変数として扱うことで、ユニタリ発展と波動関数の収縮を統合する新規な量子発展モデル—射影発展（PEv）—を提案する。このモデルは、シュレーディンガー方程式を、系に依存する確率に従う確率的射影の逐次的系列に置き換える。標準的量子力学の結果を特別な場合として再現しつつ、時間と空間を等価に扱える一貫性のある枠組みを提供する。

ABSTRACT

We propose a model of time evolution of quantum objects which unites the unitary evolution and the measurement procedures. The model allows to treat the time on equal footing with other dynamical variables.

研究の動機と目的

• 標準的量子力学におけるユニタリ発展と波動関数の収縮の基礎的不整合を解消すること。
• 時間を古典的パrameterではなく動的変数として扱い、空間的自由度と同等の扱いを可能にすること。
• 測定プロセスと時間発展を、確率的射影に基づく単一で整合的なメカニズムに統合すること。
• シュレーディンガー方程式を極限的ケースとして再現できるが、相対論的および非ユニタリな発展へ拡張可能な枠組みを提供すること。
• 時間-エネルギー不確定性関係、到着時間、量子ゼノン効果といった未解決問題を一貫した形式主義内で扱うこと。

提案手法

• 物理的時間とは異なる、状態変化の順序を示す発展パrameter τ を導入し、時間は動的変数として出現するようにする。
• 密度演算子に作用する射影演算子 E(ν) を用いた確率的射影の逐次的系列に、シュレーディンガー方程式を置き換える。
• 各射影ステップが直前の状態と系固有の確率分布に依存する、マルコフ的プロセスとしての発展を定義する。
• 射影測定を超える一般化のため、POVM（正の演算子値測定）を用いる。
• 干渉実験装置におけるビームスプリッターや位相シフト効果を組み込んだ、射影イベント間の時間発展演算子 SΔt を構築する。
• 逐次的射影を含むトレース演算を用いて遷移確率を導出する：Tr[E_D E_DEV E_Z ρ_0 E_Z E_DEV E_D]。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測定とユニタリ発展を単一の動的プロセスとして扱う統一的記述を構築できるか？
• RQ2 量子力学において時間を背景的パrameterではなく動的変数として扱うにはどうすればよいか？
• RQ3 波動関数が時間的に局在している系において、発展パrameter τ と物理的時間の関係は何か？
• RQ4 シュレーディンガー方程式が射影発展フレームワークの特別なケースとして回復できるか？
• RQ5 干渉や量子ゼノン効果といった標準的量子現象が、この新しい形式主義においてどのように生じるか？

主な発見

• 射影発展（PEv）フレームワークは、確率的射影によって支配される単一の確率的プロセスとして、ユニタリ発展と波動関数の収縮を統合する。
• 系の状態が時間的に非常に局在している場合、かつ発展が連続的である場合、シュレーディンガー方程式が極限的ケースとして回復される。
• このモデルは、空間と時間の両方を動的変数として一貫して扱えるため、標準的量子力学における非対称性を解消する。
• マハーズェンダー干渉計モデルにおいて、PEv形式主義は、発展演算子 SΔt に位相シフトとビームスプリッタ効果を含める場合、標準的量子力学と同一の干渉パターンを再現する。
• 時刻 t_D での粒子検出確率は、射影演算子の逐次的作用に依存し、|⟨ψ₀|t_Z,x_Z,a⟩|² と cos²((φ_a - φ_b)/2) のような干渉項を含む式で与えられる。
• このモデルは、現実の干渉計が、中間時間が確率的変数でない第二のモデル（Model II）でよりよく記述されることを示唆しており、ほとんど瞬時に発展し、時間的広がりが最小限であることを示している。