[論文レビュー] Projections and other images of self-similar sets with no separation condition

Ábel Farkas|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、分離条件が課されない場合に、自己相似集合のハウスドルフ次元および測度が線形写像の下でどのように変化するかを調査する。群 $\mathcal{T}$ が相似写像の直交部の生成する群であるとき、$\mathcal{T}$ が有限であれば、任意の線形写像の像はグラフ指向的アトラクターであることが示され、一部の射影において次元が低下する。より一般には、次元および測度はこの群の閉包に関して不変であり、互いに素な部分集合の像どうしの共通部分集合の測度はゼロである。

ABSTRACT

We investigate how the Hausdorff dimension and measure of a self-similar set $K\subseteq\mathbb{R}^{d}$ behave under linear images. This depends on the nature of the group $\mathcal{T}$ generated by the orthogonal parts of the defining maps of $K$. We show that if $\mathcal{T}$ is finite then every linear image of $K$ is a graph directed attractor and there exists at least one projection of $K$ such that the dimension drops under the image of the projection. In general, with no restrictions on $\mathcal{T}$ we establish that $\mathcal{H}^{t}(L\circ O(K))=\mathcal{H}^{t}(L(K))$ for every element $O$ of the closure of $\mathcal{T}$, where $L$ is a linear map and $t=\dim_{H}K$. We also prove that for disjoint subsets $A$ and extbf{$B$} of $K$ we have that $\mathcal{H}^{t}(L(A)\cap L(B))=0$. Hochman and Shmerkin showed that if $\mathcal{T}$ is dense in $SO(d,\mathbb{R})$ and the strong separation condition is satisfied then $\dim_{H}(g(K))=\min\{\dim_{H}K,l\} $ where $g$ is a continuously differentiable map of rank $l$. We deduce the same result without any separation condition and we generalize a result of Ero$\breve{\mathrm{g}}$lu by obtaining that $\mathcal{H}^{t}(g(K))=0$.

研究の動機と目的

• 分離条件を仮定しない場合に、自己相似集合のハウスドルフ次元および測度が線形写像の下でどのように変化するかを理解すること。
• 相似写像の直交部によって生成される群 $\mathcal{T}$ が、射影および像の挙動を決定する役割を分析すること。
• ホフマンとシュメールキン、エロギュルの結果を強分離条件を除いて一般化すること。
• 互いに素な部分集合の像どうしの共通部分集合の測度が線形写像の下でゼロであることを確立すること。

提案手法

• 自己相似集合 $K$ を定義する相似写像の直交部によって生成される群 $\mathcal{T}$ を分析すること。
• $\mathcal{T}$ の閉包を用いて、$\overline{\mathcal{T}}$ の元と合成された線形写像による $\mathcal{H}^t$-測度の不変性を示すこと。
• $\mathcal{T}$ が有限であれば、$K$ の任意の線形写像の像がグラフ指向的アトラクターであることを証明すること。
• $t = \dim_H K$ に対して、すべての $O \in \overline{\mathcal{T}}$ について $\mathcal{H}^t(L \circ O(K)) = \mathcal{H}^t(L(K))$ が成り立つことを示すこと。
• $\mathcal{T}$ が有限であるときの射影における次元低下に関する結果を適用すること。
• 測度論的議論を用いて、$K$ の互いに素な部分集合 $A, B$ に対して $\mathcal{H}^t(L(A) \cap L(B)) = 0$ が成り立つことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離条件が成り立たない場合に、自己相似集合のハウスドルフ次元は線形射影の下でどのように変化するか？
• RQ2 相似写像の直交部によって生成される群 $\mathcal{T}$ は、線形写像の挙動を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ3 ホフマンとシュメールキンの次元低下結果は、強分離条件を除いた自己相似集合へと拡張可能か？
• RQ4 線形写像と $\overline{\mathcal{T}}$ の元の合成に関して、$t$-次元ハウスドルフ測度がいつ保存されるか？
• RQ5 線形写像の下で、$K$ の互いに素な部分集合の像どうしの共通部分集合が、$\mathcal{H}^t$ に関してゼロ測度であるのはどのような条件下か？

主な発見

• $\mathcal{T}$ が直交部によって生成される群であるとき、$\mathcal{T}$ が有限であれば、$K$ の任意の線形写像の像はグラフ指向的アトラクターである。
• $K$ の少なくとも1つの射影において、ハウスドルフ次元が低下する。
• 任意の線形写像 $L$ および $\overline{\mathcal{T}}$ の任意の $O$ に対して、$t = \dim_H K$ であるとき、$\mathcal{H}^t(L \circ O(K)) = \mathcal{H}^t(L(K))$ が成り立つ。
• 任意の $K$ の互いに素な部分集合 $A$ および $B$ に対して、$L(A) \cap L(B)$ の $t$-次元ハウスドルフ測度はゼロである。
• ホフマンとシュメールキンによる $C^1$ 級写像（ランク $l$）における次元低下結果が、強分離条件を除いた場合へと一般化された。
• エロギュルによる $\mathcal{H}^t(g(K)) = 0$ の結果が、いかなる分離条件も課さない設定へと拡張された。