[論文レビュー] Projections in several complex variables

Chin-Yu Hsiao|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2008

Holomorphic and Operator Theory参考文献 25被引用数 35

ひとこと要約

本稿は、複素変数の厳密に擬強凸領域における $(0,q)$-形式のベルグマン射影の完全な漸近展開を確立する。これは、$q=0$ の場合にボーテ・ドゥ・モンヴェルとシューランドの結果を一般化するものである。ミニコフ＝シューランドの熱方程式法と、複素位相関数を有するフーリエ積分作用素を用いて、コーンラプラシアンに類似する新しい境界作用素を導入し、境界と内部の射影を結ぶためにポアソン作用素を用いることで、展開を導出する。

ABSTRACT

This work consists two parts. In the first part, we completely study the heat equation method of Menikoff-Sjostrand and apply it to the Kohn Laplacian defined on a compact orientable connected CR manifold. We then get the full asymptotic expansion of the Szego projection for (0,q) forms when the Levi formis nondegenerate. This generalizes a result of Boutet de Monvel and Sjostrand for (0,0) forms. Our main tool is Fourier integral operators with complex valued phase functions of Melin and Sjostrand. In the second part, we obtain the full asymptotic expansion of the Bergman projection for (0,q) forms when the Levi form is non-degenerate. This also generalizes a result of Boutet de Monvel and Sjostrand for (0,0) forms. We introduce a new operator analogous to the Kohn Laplacian defined on the boundary of a domain and we apply the heat equation method of Menikoff and Sjostrand to this operator. We obtain a description of a new Szego projection up to smoothing operators. Finally, by using the Poisson operator, we get our main result.

研究の動機と目的

• 厳密に擬強凸領域における $(0,0)$-形式から $(0,q)$-形式へのボーテ・ドゥ・モンヴェルとシューランドによるシエゴおよびベルグマン射影の漸近展開を一般化すること。
• レヴィ形式が非退化である場合の $(0,q)$-形式のベルグマン射影の漸近的挙動に関するホルマンダーの未解決問題を解消すること。
• メンイコフ＝シューランドの熱方程式法を境界シエゴ射影に適用可能にするために、コーンラプラシアンに類似した新しい境界作用素を構成すること。
• 微局所解析とポアソン作用素を用いて、$(0,q)$-形式のベルグマンカーネルの完全な漸近展開を確立すること。

提案手法

• 非退化レヴィ形式を有するコンパクトで、向き付け可能で、連結なCR多様体上でのコーンラプラシアンに、メンイコフ＝シューランドの熱方程式法を適用する。
• メリンとシューランドが開発した、複素数値位相関数を有するフーリエ積分作用素を用いて、熱核のスペクトル的および特異的挙動を分析する。
• 領域の境界に、コーンラプラシアンに類似した新しい作用素を導入し、ベルグマン射影の境界挙動をモデル化する。
• この新しい境界作用素に熱方程式法を適用することで、滑らか化作用素を除く新しいシエゴ射影を構成する。
• ポアソン作用素を用いて境界シエゴ射影を内部に持ち上げることで、ベルグマン射影の完全な漸近展開を獲得する。
• 記号類 $S^m_{1,0}$ と波フロント集合理論を活用して、微局所的特異性を制御し、漸近展開の正当性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非退化レヴィ形式を有する場合に、$(0,q)$-形式のベルグマン射影の完全な漸近展開を確立できるか。これは、$q=0$ の場合に既知の結果を一般化するものである。
• RQ2 メンイコフ＝シューランド法をベルグマン射影の文脈に適用可能にするために、コーンラプラシアンに類似した適切な境界作用素は何か。
• RQ3 $(0,q)$-形式の場合に、ポアソン作用素は境界シエゴ射影と内部ベルグマン射影をどのように結びつけるか。
• RQ4 複素位相関数を有するフーリエ積分作用素は、高次の $q$ におけるシエゴおよびベルグマンカーネルの微局所的構造をどのように解消するか。
• RQ5 ホルマンダーの提言、すなわちボーテ・ドゥ・モンヴェル＝シューランドの枠組みに従った注意深い微局所的解析が、$(0,q)$-形式のベルグマン射影の漸近展開をもたらすはずである、という仮説は正しいか。

主な発見

• 非退化レヴィ形式を有する場合に、$(0,q)$-形式のシエゴ射影の完全な漸近展開が得られ、ボーテ・ドゥ・モンヴェルとシューランドの $q=0$ の結果がすべての $q$ に拡張された。
• シエゴ射影の主要項が明示的に計算され、対角線上の特異性の明確な微局所的記述が得られた。
• コーンラプラシアンに類似した新しい境界作用素が導入され、メンイコフ＝シューランドの熱方程式法を用いて解析され、滑らか化作用素を除く境界シエゴ射影の記述が得られた。
• ポアソン作用素を用いて境界シエゴ射影を内部に持ち上げることで、$(0,q)$-形式のベルグマン射影の完全な漸近展開が得られた。
• 本手法は、複素位相関数を有するフーリエ積分作用素と $S^m_{1,0}$ における記号計算に依存しており、漸近展開に必要な微局所的制御を保証する。
• 結果として、ホルマンダーの予想が裏付けられた。すなわち、非退化レヴィ形式の下で、注意深い微局所的解析が $(0,q)$-形式のベルグマン射影の漸近展開をもたらすはずである。