[論文レビュー] Projections in the Space $H^{\infty}$ and the Corona Theorem for Coverings of Bordered Riemann Surfaces

Alexander Brudnyi|ArXiv.org|Oct 14, 2001

Holomorphic and Operator Theory参考文献 8被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、境界付きリーマン面の正則被覆上の有界正則関数空間 $ H^{\infty}(\tilde{U}) $ に対して、連続的線形射影作用素 $ P: H^{\infty}(\tilde{U}) \to p_U^*(H^\infty(U)) $ の存在を確立し、乗法的性質 $ P(fg) = P(f)g $ を満たすことを示している。また、基本群および被覆構造に関する位相的条件の下で、このような射影作用素が存在することを証明している。主な貢献は、フォーレリの定理を境界付きリーマン面の被覆へ一般化し、一様ノルムの有界性を保証することにある。

ABSTRACT

Let $M$ be a non-compact connected Riemann surface of finite type, and $R\subset\subset M$ be a relatively compact domain such that $H_{1}(M,\Z)=H_{1}(R,\Z)$. Let $ ilde R\longrightarrow R$ be a covering. We study the algebra $H^{\infty}(U)$ of bounded holomorphic functions defined in some domains $U\subset ilde R$. Our main result is a Forelli type theorem on projections in $H^{\infty}(\Di)$.

研究の動機と目的

• $ H^\infty $ におけるフォーレリの定理を、境界付きリーマン面の被覆へ拡張すること。
• 連続的線形射影作用素 $ P: H^\infty(\tilde{U}) \to p_U^*(H^\infty(U)) $ が乗法的性質 $ P(fg) = P(f)g $ を満たすような条件を確立すること。
• 射影作用素のノルムが、$ \|P\| \leq C(N) $ と一様に有界であることを示し、$ C(N) $ が基本領域 $ N $ のみに依存するようにすること。
• 普遍被覆上でのこのような射影作用素の存在を応用し、$ H^\infty(R) $ におけるコーラナ問題の解法を可能にすること。
• 単位円板から閉円板の離散的集合を除いた領域で得られる $ H^\infty $-関数の補間理論を、正の下限半径条件の下で一般化すること。

提案手法

• 被覆 $ p_U: \tilde{U} \to U $ を、$ K(U) = \ker(i_*: \pi_1(U) \to \pi_1(R)) $ に対応する正則被覆として構成する。ここで $ i: U \hookrightarrow R \in \mathcal{F}_c(N) $ である。
• 各点 $ z \in U $ に対して、ファイバー $ F_z = p_U^{-1}(z) $ 上に、$ z \in U $ に正則的に依存する点毎の射影作用素 $ P_z: l^\infty(F_z) \to C(F_z) $ を定義し、$ P[f]|_{F_z} = P_z[f|_{F_z}] $ を満たすようにする。
• 乗法的条件 $ P(fg) = P(f)g $ を $ f \in H^\infty(\tilde{U}), g \in p_U^*(H^\infty(U)) $ に対して課し、代数的構造と整合性を保つようにする。
• ユニバーサル被覆における点の逆像間の距離を定義するために、円板上の擬双曲的距離 $ \rho $ を用いる。
• ガーネットの $ H^\infty $ 理論からの不等式（例えば、[Ga, Ch.VII, Lemma 5.3]）を用いて、擬双曲的距離の積を推定し、補間特性の下界を導出する。
• もし $ \{z_j\} \subset U $ が補間可能で特性が $ \delta $ であるとし、$ \{\xi_j\} $ が $ \rho^*(\xi_j, z_j) \leq \lambda $ を満たすならば、$ \prod_{j \neq k} P_{\xi_j}(\xi_k) \geq \frac{\delta - 2\lambda/(1+\lambda^2)}{1 - 2\lambda\delta/(1+\lambda^2)} $ が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 被覆 $ \tilde{U} \to U $ に対して、位相的および解析的条件が何であると、連続的線形射影作用素 $ P: H^\infty(\tilde{U}) \to p_U^*(H^\infty(U)) $ が存在し、$ P(fg) = P(f)g $ を満たすか？
• RQ2 このような射影作用素のノルムが、被覆に依存しない、基本領域 $ N $ のみに依存する定数によって一様に有界にできるか？
• RQ3 このような射影作用素の存在が、$ U $ 内の補間可能列が、それぞれの特性が元の特性 $ \delta $ の平方根以上であるような二つの部分列に分解可能であることを示唆するか？
• RQ4 単位円板から、一様に正の擬双曲的半径を持つ閉円板の離散的集合を除いた領域 $ U \subset \mathbb{D} $ に対して、一様な射影作用素が存在するか？
• RQ5 擬双曲的距離で測った二つの補間可能列の間の距離が、その和集合が still 補間可能であることを保証するか？

主な発見

• 連続的線形射影作用素 $ P: H^\infty(\tilde{U}) \to p_U^*(H^\infty(U)) $ が存在し、$ P(fg) = P(f)g $ を満たし、$ \|P\| \leq C(N) $ を満たす。ここで $ C(N) $ は基本領域 $ N $ のみに依存する。
• 任意の補間可能列 $ \{z_j\} \subset U $ が特性 $ \delta $ を持ち、$ \lambda < 2\lambda/(1+\lambda^2) < \delta $ を満たすならば、$ \{\xi_j\} $ が $ \rho^*(\xi_j, z_j) \leq \lambda $ を満たすならば、$ \prod_{j \neq k} P_{\xi_j}(\xi_k) \geq \frac{\delta - 2\lambda/(1+\lambda^2)}{1 - 2\lambda\delta/(1+\lambda^2)} $ が成り立つ。
• 二つの補間可能列 $ \{z_i\}, \{y_i\} \subset U $ が、すべての $ i,j $ に対して $ \rho^*(z_j, y_i) \geq c > 0 $ を満たすならば、その和集合 $ \{z_i\} \cup \{y_i\} $ も $ U $ において補間可能である。
• 任意の補間可能列 $ \{z_j\} \subset U $ で特性 $ \delta $ を持つものは、それぞれの特性が少なくとも $ \sqrt{\delta} $ であるような二つの互いに素な部分列 $ \{z_{1j}\}, \{z_{2j}\} $ に分割可能である。
• このような射影作用素の存在により、$ \mathbb{D} $ から $ H^\infty(U) $ の最大イデアル空間への非自明な解析的写像を構成でき、これは補間可能列の極限点と関連している。
• 本結果は、フォーレリの定理を境界付きリーマン面の被覆へ一般化し、単位円板から一様に正の擬双曲的半径を持つ円板を除いた領域で得られる領域に対して、このような射影作用素が一様に存在するとする予想を支持する。